[Równania funkcyjne] funkcja f: C--->C

[wielkireturner]

Zadanie 5 z 65 OM etap I. Link z rozwiązaniem ... m65-1r.pdf

Próbowałem zrobić je tak:
Z badania funkcji mamy \(\displaystyle{ f(0)=0 \wedge f(c)=-f(-c)}\).
\(\displaystyle{ f(a+b)^{3} -f(a)^{3} -f(b)^{3} -3f(b)f(a)f(a+b)= \left( f(a+b)-f(a)-f(b) \right) \cdot \left( f(a+b)^{2} +f(a)^{2}+f(b)^{2}+f(a+b) \cdot f(a) - f(a) \cdot f(b) + f(b) \cdot f(a+b) \right) = 0}\)

Zatem albo I czynnik jest równy zero, albo drugi. Zakładając przez chwilę, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ciągłą, mamy dla I czynnika równego zero, że \(\displaystyle{ f(n)=dn, d \in C - \left\{ 0\right\}}\). Teraz dla drugiego czynnika równego zero dla \(\displaystyle{ b= 0}\) mamy \(\displaystyle{ 3f(a)^{2}=0}\), zatem ogólna postać funkcji spełniających równanie to \(\displaystyle{ f(n)=dn, d \in C}\).
Teraz mam pytanie, czy da się otrzymać rozwiązanie dla funkcji nieciągłej bez znacznego rozpisywania się o takiej postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(n) = 0, n = 3p+3, p \in C \\ f(n) = k, n = 3r+1, r \in C\\ f(n) = -k, n = 3b+1, b \in C \end{cases}}\)

[timon92]

Po pierwsze, zbiór liczb całkowitych na całym świecie oznacza się symbolem \(\displaystyle{ \mathbb Z}\).

Po drugie, co rozumiesz przez "funkcję ciągłą"?

[wielkireturner]

Po pierwsze, zbiór liczb całkowitych na całym świecie oznacza się symbolem \(\displaystyle{ \mathbb Z}\).

Po drugie, co rozumiesz przez "funkcję ciągłą"?

Otoczenie mojej osoby nie jest tak duże, by określać je całym światem.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_ci%C4%85g%C5%82a

[timon92]

pytałem o ciągłość, bo okazuje się, że każda funkcja określona na zbiorze liczb całkowitych jest ciągła (chyba, że rozważasz \(\displaystyle{ \mathbb Z}\) z jakąś dziwną topologią )

tak więc rozumowanie, które przeprowadziłeś (i nie przedstawiłeś tutaj) powołujące się na ciągłość \(\displaystyle{ f}\) ma jakieś błędy

a odpowiedź na pytanie, czy da się otrzymać rozwiązania postaci
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(n) = 0, n = 3p+3, p \in \mathbb Z \\ f(n) = k, n = 3r+2, r \in \mathbb Z\\ f(n) = -k, n = 3b+1, b \in \mathbb Z \end{cases}}\)
bez zbytniego rozpisywania się brzmi: nie da się

[Swistak]

Po pierwsze, zbiór liczb całkowitych na całym świecie oznacza się symbolem \(\displaystyle{ \mathbb Z}\).

Po drugie, co rozumiesz przez "funkcję ciągłą"?

Otoczenie mojej osoby nie jest tak duże, by określać je całym światem.

No właśnie timon, nie mądrzyj się! To że Ty i Twoi koledzy tak nazywacie, to nie znaczy, że od razu cały świat tak lubi ! Posłuchaj Cezika, to może trochę się uspokoisz:

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=UhgG3TUV61c

Poza tym niby taki mądry, a co to funkcja ciągła, to już nie wie

[timon92]

doskonale wiem, co to jest funkcja ciągła!

funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy można narysować jej wykres bez odrywania ołówka od kartki

[Swistak]

Idąc za Wikipedią: "Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości;", ja bym powiedział, że 4 to jest jeszcze całkiem mało, 5 to jednak trochę już jest, zatem dla \(\displaystyle{ k \le 2}\) chyba powinno być spoko

[Ponewor]

ale timon, serio mógłbyś sprawdzić sobie tę definicję ciągłości, zamiast głupio pytać

[a4karo]

timon nie pyta głupio. Użycie argumentu ciągłości w przypadku funkcji określonej na zbiorze dyskretnym świadczy o tym, że autor nie za bardzo kontroluje tok swojego rozumowania.
Pytanie było jak najbardziej zasadne i szkoda, że nie doczekało się rozsądnej odpowiedzi od autora.