Proszę o pomoc w następujących zadaniach :
1.Pokazać, że ilość elementów ciała skończonego musi być potęgą liczby pierwszej
2.Pokazać, że w grupie addytywnej ciała skończonego rząd każdego (niezerowego)
elementu jest równy charakterystyce tego ciała.
ciała skończone
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10305
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2429 razy
ciała skończone
1.
Niech \(\displaystyle{ L}\) będzie ciałem skończonym. Zadajmy funkcję \(\displaystyle{ f : \NN \to L}\) wzorem
\(\displaystyle{ f(k) = \underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_{k \text{ razy}}.}\)
Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \bullet}\) istnieje takie \(\displaystyle{ k > 0,}\) że \(\displaystyle{ f(k) = 0,}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) najmniejsza dodatnia liczba naturalna o powyższej własności (nazwijmy ją \(\displaystyle{ p}\)) jest liczbą pierwszą - jest to charakterystyka tego ciała,
\(\displaystyle{ \bullet}\) obraz \(\displaystyle{ K = f[ \NN ]}\) jest podciałem ciała \(\displaystyle{ L}\) (izomorficznym z \(\displaystyle{ \ZZ_p}\)),
\(\displaystyle{ \bullet}\) ciało \(\displaystyle{ K}\) i grupa addytywna \(\displaystyle{ L}\) z mnożeniem elementów \(\displaystyle{ K}\) przez elementy \(\displaystyle{ L}\) spełniają definicję przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ L}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K,}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) wymiar \(\displaystyle{ n = \dim L}\) jest skończony.
Wtedy wiadomo, że \(\displaystyle{ L \simeq K^n,}\) zatem \(\displaystyle{ |L| = |K|^n = p^n.}\)
Część z tych faktów może być ci znana, to wtedy dowód można pominąć.
2.
Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie ciałem skończonym i niech \(\displaystyle{ p = \text{char} \: K.}\) Dla dowolnego elementu \(\displaystyle{ a \in K \setminus \{ 0 \}}\) i liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) jest
\(\displaystyle{ \underbrace{a + a + \ldots + a}_{k \text{ razy}} = a( \underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_{k \text{ razy}} ).}\)
Zastanów się, co można stąd wywnioskować.
Niech \(\displaystyle{ L}\) będzie ciałem skończonym. Zadajmy funkcję \(\displaystyle{ f : \NN \to L}\) wzorem
\(\displaystyle{ f(k) = \underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_{k \text{ razy}}.}\)
Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \bullet}\) istnieje takie \(\displaystyle{ k > 0,}\) że \(\displaystyle{ f(k) = 0,}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) najmniejsza dodatnia liczba naturalna o powyższej własności (nazwijmy ją \(\displaystyle{ p}\)) jest liczbą pierwszą - jest to charakterystyka tego ciała,
\(\displaystyle{ \bullet}\) obraz \(\displaystyle{ K = f[ \NN ]}\) jest podciałem ciała \(\displaystyle{ L}\) (izomorficznym z \(\displaystyle{ \ZZ_p}\)),
\(\displaystyle{ \bullet}\) ciało \(\displaystyle{ K}\) i grupa addytywna \(\displaystyle{ L}\) z mnożeniem elementów \(\displaystyle{ K}\) przez elementy \(\displaystyle{ L}\) spełniają definicję przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ L}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K,}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) wymiar \(\displaystyle{ n = \dim L}\) jest skończony.
Wtedy wiadomo, że \(\displaystyle{ L \simeq K^n,}\) zatem \(\displaystyle{ |L| = |K|^n = p^n.}\)
Część z tych faktów może być ci znana, to wtedy dowód można pominąć.
2.
Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie ciałem skończonym i niech \(\displaystyle{ p = \text{char} \: K.}\) Dla dowolnego elementu \(\displaystyle{ a \in K \setminus \{ 0 \}}\) i liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) jest
\(\displaystyle{ \underbrace{a + a + \ldots + a}_{k \text{ razy}} = a( \underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_{k \text{ razy}} ).}\)
Zastanów się, co można stąd wywnioskować.