Przedziały monotoniczności funkcji

Kubelek123 · Post autor: **Kubelek123** » 14 gru 2015, o 23:34

cześć!

Nie wiem jak wyznaczyć przedziały monotoniczności tej funkcji

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{xlnx}}\)

Pochodna to oczywiście

\(\displaystyle{ f'(x)=- \frac{lnx+1}{x^2ln^2x}}\)

\(\displaystyle{ f'(x)=- \frac{lnx+1}{x^2ln^2x}=0}\) dla \(\displaystyle{ x= \frac{1}{e}}\) ?

Kiedy rośnie, maleje?

dzięki wielkie

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 14 gru 2015, o 23:39

Funkcja rośnie w takim przedziale, w którym \(\displaystyle{ f'(x)>0}\).

Kubelek123 · Post autor: **Kubelek123** » 14 gru 2015, o 23:46

\(\displaystyle{ (0, \frac{1}{e})}\) rośnie
\(\displaystyle{ (\frac{1}{e}), \infty}\) maleje?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 14 gru 2015, o 23:49

Tak. A co z punktem \(\displaystyle{ \frac{1}{e}}\)? Formalnie nie należy to do zadania, ale zastanów się.

Kubelek123 · Post autor: **Kubelek123** » 15 gru 2015, o 00:02

Hmm, nom maksimum zdaje się? Chyba, że z jakiegoś powodu nie należy do dziedziny?

Co gdy trafię na bardziej złożoną funkcję? Druga pochodna będzie chyba zbyt skomplikowana, zostaje analizowanie, czy jakieś metody matematyczne?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 15 gru 2015, o 08:13

Kubelek123 pisze:\(\displaystyle{ (0, \frac{1}{e})}\) rośnie
\(\displaystyle{ (\frac{1}{e}), \infty}\) maleje?

szw1710 pisze:Tak.

Nie. Twierdzenie o monotoniczności jest prawdziwe jedynie dla przedziałów. Jedyne, co możemy wnioskować, to to, że funkcja rośnie na przedziale \(\displaystyle{ (0.e^{-1})}\) oraz maleje na przedziałach \(\displaystyle{ (e^{-1},1)}\) i \(\displaystyle{ (1,\infty)}\). (Sprawdź granice w jedynce)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 15 gru 2015, o 08:32

Tak, masz rację, późną porą zapomniałem o dziedzinie, jedynka zeruje logarytm!!! Dziękuję za czujność.

Kubelek123 · Post autor: **Kubelek123** » 15 gru 2015, o 23:03

Dzięki wielkie, rzeczywiście zapomniałem.