pierścień przemienny

[paulina95]

proszę o pomoc w zadaniach:

zad.1
Pokazać, że jeśli w pierścieniu R dla każdego elementu \(\displaystyle{ x}\) pierścienia R zachodzi
tożsamość \(\displaystyle{ xx = x}\), to jest to pierścień przemienny i każdy element spełnia również tożsamość
\(\displaystyle{ x + x = 0.}\) Podać przykład takiego pierścienia.
Wsk. Rozważyć \(\displaystyle{ x = a + b}\).

zad.2
Pokazać, że pierścień R nie posiada dzielników zera \(\displaystyle{ ⇔}\) jeśli dla każdego \(\displaystyle{ a \neq 0}\)
oraz \(\displaystyle{ b, c \in R}\) równość \(\displaystyle{ ab = ac}\) pociąga \(\displaystyle{ b = c}\) (prawo lewostronnego skracania). Analogicznie dla prawostronnego skracania.

Czy suma prosta pierścieni a) przemiennych; b) z jednością; c) bez dzielników
zera również posiada tę własność?

[leg14]

1) Czy treść jest na pewno poprawna?
2) Załóżmy,ze \(\displaystyle{ ab=0}\) dla pewnych niezerowych a i b
\(\displaystyle{ ab=0=a0}\) jaki stad wniosek?

W 3) czy wiesz jak się definiuje działania w sumie prostej pierścieni? W a) łatwo to pokazać wprost. W b speobuj wskazać taka jedynkę explicite. W c kontrprzykład em będzie chociażby \(\displaystyle{ Z_2}\) razy \(\displaystyle{ Z_2}\)

[paulina95]

tak jest poprawna

[leg14]

Ok no to niech \(\displaystyle{ y= x +1}\)
Wtedy korzystając z podanej własności
\(\displaystyle{ (x+1)(x+1)= x+1}\)
Zatem
\(\displaystyle{ x^2 -x + 1-1 + 2x =0}\)
Zatem \(\displaystyle{ 2x=0}\)
Teraz wskazowka do przemienności: weź \(\displaystyle{ z= x+ y}\) oraz \(\displaystyle{ t = y + x}\) i dla obu wykonaj to samo co ja wyżej. Jeżeli chodzi o przykład takiego pierścienia to szukalbym go wśród możliwie najprostszych pierścieni.