zbieżność jednostajna szeregu funkcyjnego

[karrla]

Określić obszar zbieżności szeregu funkcyjnego \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}2^n \sin {\frac{x}{3^n}}\) i zbadać czy jest zbieżny jednostajnie na tym obszarze.

Nie wiem jak zacząć sprawdzać gdzie powyższy szereg jest zbieżny - w innych zadaniach tego typu wykorzystywałam twierdzenie o kole zbieżności szeregu potęgowego, jednak tu nie wiem jak można by to obliczyć Umiałby ktoś pomóc ?

[miodzio1988]

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Kryterium_Weierstrassa

[karrla]

ponieważ \(\displaystyle{ \sin{\frac{x}{3^n}\le 1}\), dlatego \(\displaystyle{ 2^n\sin{\frac{x}{3^n}\le 2^n}\). Ale \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} 2^n}\) jest rozbieżny ....

-- 14 gru 2015, o 12:52 --

poza tym kryterium Weierstrassa mówi o zbieżności jednostajnej, a ja na początku muszę podać obszar zbieżności szeregu funkcyjnego

[Dasio11]

Kryterium Weierstrassa rzeczywiście jest tu bezużyteczne. Spróbuj z kryterium d'Alemberta.

[karrla]

a mogłabym prosić o jakąś wskazówkę ? Jak zastosować kryterium d'Alemberta dla ciągu funkcyjnego ?

[liu]

Hmm, jeżeli chodzi o obszar zbieżności. Załóżmy póki co, że \(\displaystyle{ x > 0}\). Wówczas istnieje takie \(\displaystyle{ N}\), że \(\displaystyle{ \frac{x}{3^n} < \frac{\pi}{2}}\) dla \(\displaystyle{ n\geq N}\). Oczywiste jest, że (dla tego ustalonego \(\displaystyle{ x}\)) szereg badany jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=N}^{\infty} 2^n \sin \frac{x}{3^n}}\) jest zbieżny. Mamy teraz oszacowanie
\(\displaystyle{ 0 \leq 2^n \sin \frac{x}{3^n} \leq x \left(\frac{2}{3}\right)^n}\).
Korzystamy z twierdzenia o trzech szeregach i dostajemy, że szereg ten jest zbieżny punktowo w dowolnym ustalonym \(\displaystyle{ x>0}\). Korzystając z nieparzystości sinusa dostaniemy podobnie dla \(\displaystyle{ x<0}\), a \(\displaystyle{ x=0}\) jest trywialne. Pozostaje kwestia zbieżności jednostajnej.

[a4karo]

Kryterium Weierstrassa rzeczywiście jest tu bezużyteczne. Spróbuj z kryterium d'Alemberta.

Ależ oczywiście, że jest użyteczne, tylko szacowanie delikatniejsze trzeba zrobić.

[Dasio11]

To ciekawe, bo szereg nie jest zbieżny jednostajnie w swoim obszarze zbieżności.

[a4karo]

\(\displaystyle{ |\sin x|<|x|}\). Stąd wynika zbieżnośc jednostajna na każdym ograniczonym podzbiorze \(\displaystyle{ \RR}\). (ograniczenia zależą od \(\displaystyle{ x}\))

[Dasio11]

A po co badać zbieżność jednostajną na każdym ograniczonym podzbiorze \(\displaystyle{ \RR}\)?

[a4karo]

A po co badać zbieżność jednostajną na każdym ograniczonym podzbiorze \(\displaystyle{ \RR}\)?

A czego dotyczyła Twoja poprzednia uwaga?

[Dasio11]

Dotyczyła tego, że szereg nie jest zbieżny jednostajnie w swoim obszarze zbieżności, więc w rozwiązaniu tego zadania nie da się wykorzystać kryterium Weierstrassa.