Pokazać L-mierzalność funkcji

Kaef · Post autor: **Kaef** » 13 gru 2015, o 17:56

Mam funkcję $\displaystyle{ f(x)=\sin x + D(x)}$, gdzie $\displaystyle{ D(x)}$ jest funkcją Dirichleta.

Zatem $\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \sin x+1, \quad x\in \QQ \\ \sin x, \qquad x \notin \QQ \end{cases}}$

Wykonałam rysunek i otrzymałam "normalną" sinusoidę, "na której" znajdują się moje $\displaystyle{ x}$ niewymierne, oraz sinusoidę przesuniętą o $\displaystyle{ 1}$ w górę, gdzie mam $\displaystyle{ x}$ wymierne. Pytanie - co dalej?

Bo jeśli miałam np. $\displaystyle{ \mbox{sgn}\,x}$ to rozpatrywałam przypadki ze względu na jakiś parametr a, korzystając z podstawowej definicji funkcji mierzalnej. A tutaj? Widzę tylko tyle, że jeśli $\displaystyle{ a \le -1}$ to mam zbiór pusty, a $\displaystyle{ a \ge 2}$ daje całe $\displaystyle{ R}$. Natomiast nie wiem, jak pozostałe przypadki.

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 13 gru 2015, o 18:22

Suma funkcji mierzalnych jest mierzalna. Sinus oczywiście jest mierzalny (jako funkcja ciągła), indykator zbioru liczb wymiernych również - ponieważ sam $\displaystyle{ \QQ}$ jest mierzalny (chociażby dlatego, że jest przeliczalną sumą singletonów).

Kaef · Post autor: **Kaef** » 13 gru 2015, o 18:37

A rozpisując to jakoś tak, żeby to pokazać krok po kroku? Da się?

Mam jeszcze takie funkcje:
$\displaystyle{ f(x)=D(x+1) \\
f(x)=\ln (D(x)+1) \\
f(x)=2^{D(x)}}$

Co wtedy?

Post autor: **bartek118** » 14 gru 2015, o 08:59

Zauważ na przykład, że $\displaystyle{ D(x+1) = D(x)}$.

Post autor: **Dasio11** » 15 gru 2015, o 19:35

A ogólnie warto zwrócić uwagę na następujący fakt:

Fakt.
Załóżmy, że funkcja $\displaystyle{ f: \RR \to \RR}$ jest mierzalna oraz $\displaystyle{ g=f}$ prawie wszędzie. Wtedy $\displaystyle{ g}$ też jest mierzalna.

Dowód.
Niech $\displaystyle{ A = \{ x \in \RR : f(x) = g(x) \}.}$ Z założenia wynika, że $\displaystyle{ \lambda(A') = 0.}$
Zbadajmy z definicji mierzalność funkcji $\displaystyle{ g}$: niech $\displaystyle{ a \in \RR.}$ Wtedy

$\displaystyle{ \{ x \in \RR : g(x) \le a \} = \{ x \in A : g(x) \le a \} \cup \{ x \in A' : g(x) \le a \}.}$

Ale skoro $\displaystyle{ g(x) = f(x)}$ dla $\displaystyle{ x \in A,}$ to $\displaystyle{ \{ x \in A : g(x) \le a \} = \{ x \in A : f(x) \le a \},}$ zatem na mocy mierzalności funkcji $\displaystyle{ f}$ jest to zbiór mierzalny.
Drugi zbiór $\displaystyle{ \{ x \in A' : g(x) \le a \}}$ jest zawarty w $\displaystyle{ A',}$ który jest miary zero, zatem sam jest mierzalny, miary zero.
Wobec tego $\displaystyle{ \{ x \in \RR : g(x) \le a \}}$ jest sumą dwóch zbiorów mierzalnych, więc jest mierzalny. $\displaystyle{ \blacksquare}$

Z powyższego faktu płynie wniosek, że wartości funkcji na zbiorze miary zero nie wpływają na jej mierzalność. A skoro $\displaystyle{ D(x) = 0}$ prawie wszędzie (bo zbiór liczb wymiernych jest miary zero), to:

$\displaystyle{ $ \begin{alignat*}{4}
& \bullet \ D(x+1) & = 0 & \quad \text{prawie wszędzie,} \\
& \bullet \ \ln( D(x) + 1 ) = \ln( 0 + 1 ) \: & = 0 & \quad \text{prawie wszędzie,} \\
& \bullet \ 2^{D(x)} = 2^0 & = 1 & \quad \text{prawie wszędzie,}
\end{alignat*} $}$

więc mierzalność funkcyj po lewej stronie wynika z mierzalności funkcyj (stałych) po prawej stronie.