Grupa ilorazowa i elementy nieodwracalne

[michals95]

1. Wyznaczyć podgrupę 8-elementową podgrupę \(\displaystyle{ Z_{4} \times Z_{4}}\) oraz grupę ilorazową \(\displaystyle{ Z_{4} \times Z_{4} / _{[(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)]}}\). Odnośnie pierwszej części to znajduję tylko 4-elementowe podgrupy cykliczne. Natomiast w drugiej nie mam pojęcia co zrobić, kiedy podgrupą \(\displaystyle{ H}\) jest podgrupa niecykliczna.

2. Podać przykład elementów nieodwracalnych (jeśli istnieją):
a) \(\displaystyle{ Z _{31}}\)
b) \(\displaystyle{ R \times Z _{7}}\)
Wydaję mi się, w w podp. a) taki element nie istnieje, bo 31 jest liczbą pierwszą, jednak mam wątpliwości dla liczby 0.
Proszę o pomoc

[szw1710]

2a) Kiedy pierścień \(\displaystyle{ \ZZ_n}\) jest ciałem?
2b) W iloczynach kartezjańskich pierścieni roi się od dzielników zera. One zawsze są nieodwracalne.

Oczywiście nie ma dychotomii: element owracalny/dzielnik zera. W pierścieniach całkowitych też są elementy nieodwracalne. Np. w \(\displaystyle{ \ZZ}\).

[michals95]

2 a) \(\displaystyle{ Z _{n}}\) jest ciałem kiedy zawiera przynajmniej dwa elementy i wszystkie niezerowe elementy są odwracalne. Tylko czy to coś tutaj zmienia?
2 b) już rozumiem, wystarczy wybranie dowolnego elementu, gdzie pierwsza współrzędna to 0

[szw1710]

2a) Ale konkretniej? Jakie ma być to \(\displaystyle{ n}\)? Podajesz ogólny warunek, kiedy pierścień jest ciałem. Tutaj to za mało.

[arek1357]

Warstwami w grupie ilorazowej będą:

\(\displaystyle{ H}\)

\(\displaystyle{ (1,0)+H}\)

\(\displaystyle{ (0,1)+H}\)

\(\displaystyle{ (1,1)+H}\)

Oczywiście w następnym zadaniu dzielniki zera to np:

\(\displaystyle{ (3,0)*(0,3)=(0,0)}\)

podgrupa ośmioelementowa to:

\(\displaystyle{ \left\{ (0,0) (0,2) (1,0) (1,2)(2,0) (2,2)(3,0) (3,2)\right\}}\)

[michals95]

w 2a) \(\displaystyle{ n}\) musi być liczbą pierwszą, żeby \(\displaystyle{ Z_{n}}\) było ciałem. Tylko w takim wypadku wszystkie niezerowe elementy będą odwracalne.
W związku z czym, czy 0 będzie elementem nieodwracalnym?
Dziękuję za rozwiązanie pierwszego, choć nie do końca rozumiem, skąd bierze się taka a nie inna podgrupa 8-elementowa

[Kartezjusz]

Jest to podgrupa i jest ośmioelementowa. Czego chcieć więcej

[szw1710]

W pierścieniu niezerowym nie znajdziemy takiego elementu \(\displaystyle{ p}\), abo \(\displaystyle{ 0\cdot p=1}\), bo \(\displaystyle{ 0\cdot p=0}\). Nie wiem czy w definicji elementu nieodwracalnego nie postuluje się jego niezerowości wykluczając ten trywialny przypadek.

W pierścieniu zerowym (i tylko w nim) mamy \(\displaystyle{ 0=1}\).