Łańcuszek spadający ze stołu

[Loonger]

Przez krawędź gładkiego stołu przewieszono prostopadle do krawędzi łańcuszek o całkowitej długości \(\displaystyle{ 42cm}\), tak że połowa zwisa w dół. Łańcuszek puszczono i zaczął się ześlizgiwać ze stołu. Obliczyć prędkość łańcuszka w chwili gdy jego koniec dobiega do krawędzi.

[Zahion]

Zadanie wygląda na treść : Jaką predkość końcową osiągnie punkt \(\displaystyle{ A}\) po spadku z wysokości \(\displaystyle{ h = 21cm}\) bez prędkości początkowej, tj. równej zero.

[liu]

Bardzo nie.

[Loonger]

Bardzo nie.

Wiesz jak to zrobić? Mam jutro z tego kolokwium i nie mam pojęcia jak to zrobić

[liu]

Mniej więcej tak:

Załóżmy, że łańcuch ma masę \(\displaystyle{ m}\), obierzmy układ współrzędnych tak, że \(\displaystyle{ x}\) jest pionowo i rośnie "w dół" (w stronę przyciągania grawitacyjnego). Przez \(\displaystyle{ x(t)}\) oznaczmy współrzędną końca łańcucha w chwili \(\displaystyle{ t}\). Na część łańcucha o długości \(\displaystyle{ L - x(t)}\) działa skierowana w dół siła grawitacji \(\displaystyle{ mg\frac{x(t)}{L}}\), na drugą część (leżącą na stole) działa siła \(\displaystyle{ mg\frac{L - x(t)}{L}}\) równoważona przez siłę reakcji stołu. Stąd całkowita siła działająca na łańcuch to
\(\displaystyle{ F(t) = m g\frac{x(t)}{L}}\).
Piszemy równanie ruchu:
\(\displaystyle{ m \frac{x(t)}{L} = m g\frac{d^2x}{dt^2}}\)
Warunki początkowe to \(\displaystyle{ x(0) = L/2}\) (bo na początku zwisało pół łańcucha) i \(\displaystyle{ x'(0) = 0}\) (bo łańcuch początkowo spoczywał).
Pozostają rachunki i znalezienie \(\displaystyle{ x(L)}\).

Traktowanie tego jako punkt materialny spadający swobodnie jest sporym nadużyciem, bo w rzeczywistości mamy tu spadający swobodnie układ o masie proporcjonalnej do przesunięcia.

[norwimaj]

Stąd całkowita siła działająca na łańcuch to
\(\displaystyle{ F(t) = m g\frac{x(t)}{L}}\).

Mowa tu co najwyżej o składowej pionowej siły wypadkowej. W punkcie zgięcia łańcucha siła reakcji podłoża nie jest pionowa. Gdyby działały tylko siły w kierunku pionowym, pęd łańcucha byłby przez cały czas pionowy.

Piszemy równanie ruchu:
\(\displaystyle{ m \frac{x(t)}{L} = m g\frac{d^2x}{dt^2}}\)

Rozumiem, że \(\displaystyle{ g}\) miało być po lewej, a nie prawej stronie. Ale dlaczego po prawej stronie jest przyspieszenie końca łańcucha, a nie przyspieszenie środka masy łańcucha?

[SidCom]

Ale dlaczego po prawej stronie jest przyspieszenie końca łańcucha, a nie przyspieszenie środka masy łańcucha?

Cały łańcuch ma (co do wartości) to samo przyśpieszenie - inaczej następowałoby rozciąganie bądź ściskanie jakichś fragmentów.

[norwimaj]

Cały łańcuch ma (co do wartości) to samo przyśpieszenie

Sam widzisz, że tylko co do wartości, a nawet to nie jest do końca prawdą.

- inaczej następowałoby rozciąganie bądź ściskanie jakichś fragmentów.

Albo zginanie. Właśnie przeprowadziłem doświadczenie i widziałem na własne oczy, że łańcuszek zmienia kształt w trakcie procesu.

[kruszewski]

To proszę podzielić się z nami tą "obserwacją".
W.Kr.

[siwymech]

AU

8eaaaa23094bc3f4med.jpg (30.43 KiB) Przejrzano 1158 razy

Do rozw. wykorzystano zasadę równoważności energii kinetycznej \(\displaystyle{ Ek}\) i pracy \(\displaystyle{ W}\).
....Jeżeli na poruszające sie ciało o masie \(\displaystyle{ m}\) działa siła \(\displaystyle{ F}\), to przyrost energii kinetycznej \(\displaystyle{ \delta E _{k}}\) tego ciała jest równy pracy \(\displaystyle{ W}\) wykonanej przez siłę \(\displaystyle{ F}\) działajacą na to ciało.

\(\displaystyle{ l}\) - długość łańcucha
\(\displaystyle{ y}\)- długość tej części łańcucha, która zwisa w pewnej chwili podczas jego ruchu z prędkościa \(\displaystyle{ v}\),
\(\displaystyle{ dy}\)- elementarny droga jaką przebywa łańcuch w el. czasie \(\displaystyle{ dt}\)
\(\displaystyle{ v}\)-prędkość łańcucha,
\(\displaystyle{ q}\)-ciężar jednostki długości łańcucha
\(\displaystyle{ q \cdot y}\)-ciężar zwisającej części łańcucha
.........................................................................
\(\displaystyle{ }\) Pracę wykonuje ciężar zwisającej części łańcucha. Praca ta, zużyta zostaje na powiększenie energii kinetycznej opadajacego łańcucha.
1. Obliczenie pracy
W czasie \(\displaystyle{ dt}\) łańcuch pokonał el.drogę \(\displaystyle{ dy}\),
\(\displaystyle{ W=q \cdot y dy}\), (1)
2. Przyrost energii kinetycznej;
\(\displaystyle{ E _{k}= \frac{mv ^{2} }{2}}\), (2)
Elementarny przyrost energii kinetycznej wyrażony przez żróżniczkowanie (2):
\(\displaystyle{ \delta E _{k} =d(\frac{mv ^{2} }{2} )=m \cdot vdv}\), (3)
3. Zasada równoważności \(\displaystyle{ W}\) i \(\displaystyle{ Ek}\) przyjmuje postać równania rożniczkowego;
\(\displaystyle{ m vdv=q ydy}\), (4)
3.1 Całkując obustronnie otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{mv ^{2} }{2}=q \frac{y ^{2} }{2} +C}\), (5)
3.2. Stałą \(\displaystyle{ C}\) wyznaczamy z warunków początkowych ruchu:
\(\displaystyle{ y= \frac{l}{2} \Rightarrow v=0}\)
\(\displaystyle{ C=- \frac{ql ^{2} }{8}}\), (6)
3.3. Równanie (5) mozemy teraz zapisać jako:
\(\displaystyle{ \frac{mv ^{2} }{2}=q \frac{y ^{2} }{2}- \frac{ql ^{2} }{8}}\), (7)
Z warunków zadania, możemy do rów. (7) podstawic :
\(\displaystyle{ y=l=0,42}\) m,
masa zwisajacego łańcucha
\(\displaystyle{ m= \frac{ql}{g}}\)
3.4. Po przekszatłceniach otrzymamy przepis na prędkość :
\(\displaystyle{ v= \frac{1}{2} \sqrt{ 3gl } =1,757}\) m/s

[norwimaj]

To proszę podzielić się z nami tą "obserwacją".

Niestety nie nagrałem filmu. Wyglądało to mniej więcej tak, że część łańcucha leżąca na stole poruszała się w kierunku krawędzi stołu, a pozostała część niemal pionowo w dół aż do momentu, gdy górny koniec łańcucha oderwał się od stołu. Zgięcie łańcucha w tym czasie przesunęło się ze środka łańcucha na jego koniec, czyli łańcuch zmienił kształt. Po oderwaniu się łańcucha od krawędzi stołu sytuacja stała się dużo ciekawsza, ale ciężko o niej coś istotnego powiedzieć, bo wszystko dzieje się w mgnieniu oka.

-- 9 gru 2015, o 22:10 --

Przedstawione rozwiązania Panów liu i siwymech dają ten sam wynik. W pierwszym z rozwiązań moje wątpliwości dotyczyły tego, że w równaniu było przyspieszenie końca łańcucha zamiast środka masy. Drugie rozwiązanie pomija fakt, że łańcuch ma pewną składową poziomą pędu. Ta składowa nie może zniknąć. W ostatnim momencie górny koniec ma znacznie większą składową poziomą prędkości niż dolny. To oznacza, że łańcuch ma pewien niezerowy moment pędu. Natomiast w rozwiązaniu została uwzględniona tylko energia kinetyczna związana z prędkością liniową. Myślę że przedstawione rozwiązania są wzorcowe (to znaczy takie, jakie autor zadania miał na myśli). Jednak warto się im bliżej przyjrzeć.

Wykres składowej pionowej pędu łańcucha w zależności od długości swobodnej części łańcucha według tych rozwiązań wygląda tak:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%7C+x+sqrt%28x%5E2-1%2F4%29+%7C+x+%3D+0.5+to+1

a wykres poziomej składowej pędu tak:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%7C+%281-x%29+sqrt%28x%5E2-1%2F4%29+%7C+x+%3D+0.5+to+1

Czy można zaniedbać poziomą składową, to każdy sam oceni. Ja w każdym razie nie umiem zaatakować tego zadania w pełnej złożoności.

[kruszewski]

Doświadczenie rzeczywiste w istocie swojej nie wiele różniło się od wirtualnego.

-- 9 gru 2015, o 23:42 --

Zagadnienie jest ciekawe i mieści się w zadaniach o ruchu stałej masy popędzanej zmienną w czasie siłą.
Jeżeli patrzeć na ruch od strony pędu, to moduł pędu każdego ogniwka jest jednakowy. Wektorowo to ogniwka leżące mają go poziomy, wiszące pionowy.
Ekstremum pędu części leżącej na stole wynika z faktu zmniejszania się masy leżącej i wzrastania jej prędkości.

[SidCom]

Poważna analiza dynamiki spadającego łańcucha - m.in. przypadek pasujący do naszej dyskusji.
Autorzy otrzymali ciekawy wynik: łańcuch zsuwa się z przyśpieszeniem \(\displaystyle{ g/3}\)

[norwimaj]

Ekstremum pędu części leżącej na stole wynika z faktu zmniejszania się masy leżącej i wzrastania jej prędkości.

Ale czy w rzeczywistym doświadczeniu to ekstremum istnieje? Skąd bierze się siła, która zmniejsza pęd łańcucha po przekroczeniu ekstremum?

[kruszewski]

Jeżeli pęd określa równanie: \(\displaystyle{ P=m \cdot v}\), to do "malenia" pędu może być prędsze ubywanie popędzanej masy, tej leżącej na stole, niż przybywanie jej prędkości co tam właśnie zachodzi.
proszę zauważyć, że pokazany wykres dotyczy "poziomego" wektora pędu, zatem dotyczy części łańcucha leżącej na stole.