Podprzestrzeń liniowa

[Loonger]

Określić, który z podzbiorów \(\displaystyle{ R^3}\) jest jej podprzestrzenią liniową:
a) \(\displaystyle{ U_{1} =\left\{ (x,y,z): y=x^2, 2y+z=0\right\}}\)
b) \(\displaystyle{ U_{2} =\left\{ (x,y,z): x+y=2x=1\right\}}\)
c) \(\displaystyle{ U_{3} =\left\{ (x,y,z): x-y=0, 2y+z=0\right\}}\)
d) \(\displaystyle{ U_{4} =\left\{ (x,y,z): x \ge 0\right\}}\)

Nie za bardzo wiem jak wgl się za to zabrać. Poproszę o jakieś wskazówki

[miodzio1988]

z definicji działaj, jakie warunki masz sprawdzić?

[Loonger]

Zakładam, że przestrzeń \(\displaystyle{ V= R^{3}}\) i mam policzyć, który z z tych podzbiorów \(\displaystyle{ U}\), jest podprzestrzenią liniową tej przestrzeni \(\displaystyle{ V}\)?

czyli licząc dla \(\displaystyle{ U_{1}}\) mam sprawdzić czy istnieje takie \(\displaystyle{ U_{1} _{a}}\), \(\displaystyle{ U_{1} _{b}\in U_{1}}\) i \(\displaystyle{ \alpha_{1}}\), \(\displaystyle{ \alpha_{2} \in R}\), że \(\displaystyle{ \alpha _{1} \cdot U_{1} _{a}}\)\(\displaystyle{ +\alpha _{2} \cdot U_{1} _{b} \in U_{1}}\)??

[NogaWeza]

a) Przede wszystkim do każdej podprzestrzeni musi należeć wektor zerowy.
Bierzesz skalary \(\displaystyle{ \alpha_1 , \alpha_2 \in \mathbb{R}}\) oraz wektory \(\displaystyle{ u_1, u_2 \in U_1}\).
\(\displaystyle{ u_1 = (x_1 , y_1 , z_1 )}\)
\(\displaystyle{ u_2 = (x_2 , y_2 , z_2 )}\)
I teraz tak jak napisałeś, sprawdzasz, czy \(\displaystyle{ \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 \in U_1}\)

[Loonger]

a) Przede wszystkim do każdej podprzestrzeni musi należeć wektor zerowy.
Bierzesz skalary \(\displaystyle{ \alpha_1 , \alpha_2 \in \mathbb{R}}\) oraz wektory \(\displaystyle{ u_1, u_2 \in U_1}\).
\(\displaystyle{ u_1 = (x_1 , y_1 , z_1 )}\)
\(\displaystyle{ u_2 = (x_2 , y_2 , z_2 )}\)
I teraz tak jak napisałeś, sprawdzasz, czy \(\displaystyle{ \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 \in U_1}\)

Nie mam pojęcia jak to zrobić mógłbyś rozwiązać mi chociaż przykład a) ? -- 8 gru 2015, o 10:59 --Rozwiązałem tyle chociaż ten nie wiem skąd bierze się wynik (korzystałem książki)
\(\displaystyle{ \alpha_{1} \cdot u_{1}+\alpha_{2}\cdot u_{2}=(\alpha_{1} \cdot x_{1}+\alpha_{2} \cdot x_{2}, \alpha_{1} \cdot y_{1}+\alpha_{2} \cdot y_{2}, \alpha_{1} \cdot z_{1}+\alpha_{2} \cdot z_{2}=(x,y,z)}\)

I co dalej?

[NogaWeza]

W ramach praktyki rozwiązałem sobie te zadania i chciałbym prosić, żeby ktoś kompetentny je sprawdził.

a) No to mamy \(\displaystyle{ \left( \mathbb{R}^3, +, \cdot \right)}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) oraz zadaną rzekomą podprzestrzeń \(\displaystyle{ \mbox{U_{1}} =\left\{ (x,y,z): y=x^2, 2y+z=0\right\}}\).
Biorę sobie dowolne \(\displaystyle{ \alpha_1 , \alpha_2 \in \mathbb{R}}\) oraz dowolne\(\displaystyle{ u_1 , u_2 \in \mbox{U_1}}\).
Niech \(\displaystyle{ u_1 = \left( x_1 , y_1 , z_1\right)}\) oraz \(\displaystyle{ u_2 = \left( x_2 , y_2 , z_2\right)}\).

Na początku zauważam, że wektor zerowy należy do tej podprzestrzeni, bo gdyby nie należał to mógłbym tu zakończyć.

\(\displaystyle{ \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 = \alpha_1 \left( x_1, y_1, z_1\right) + \alpha_2 \left( x_2, y_2, z_2\right) =}\)
\(\displaystyle{ = (\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 , \alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2, \alpha_1 z_1 + \alpha_2 z_2)=(a,b,c)}\)

Teraz jeśli pokażę, że wektor \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) spełnia warunki tejże rzekomej podprzestrzeni \(\displaystyle{ \mbox{U_1}}\), to będzie znaczyło, że \(\displaystyle{ \left( \forall u_1 , u_2 \in U_1 \right) \quad \left( \forall \alpha_1 , \alpha_2 \in \mathbb{R}\right) \quad \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 \in \mbox{U_1}}\), czyli, że rzeczywiście jest to podprzestrzeń.

No to piszę: \(\displaystyle{ b = \alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2 = \alpha_1 x_1^2 + \alpha_2 x_2^2}\) , ale
\(\displaystyle{ a^2 = \left( \alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 \right)^2 = (\alpha_1 x_1)^2 + (\alpha_2 x_2 )^2 + 2 \alpha_1 \alpha_2 x_1 x_2}\)
Stąd widać, że \(\displaystyle{ b \neq a^2}\), wektor \(\displaystyle{ \left( a,b,c \right)}\) nie spełnia warunków, czyli jak się okazuje nie jest to podprzestrzeń wektorowa przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\).

Rezultat nosi znamiona poprawności, bo jeśli w warunkach jest kwadrat, to ciężko chyba, żeby podprzestrzeń była liniowa, prawda? Czy jest to poprawny sposób rozwiązania tego problemu?

Edit: Zajęło mi to tylko 20 dni, ale osobiście otrzymałem kiedyś odpowiedź po ponad 180 dniach, więc i tak relatywnie szybko się wyrobiłem.

b) \(\displaystyle{ U_2}\) nie jest podprzestrzenią, bo wektor zerowy przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) nie należy do \(\displaystyle{ U_2}\), tak?