Równania macierzowe
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 7 sie 2007, o 11:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: zabrze
- Podziękował: 1 raz
Równania macierzowe
Witam. Mam następujące pytanie dotyczące rozwiązywania równań macierzowych.
Jaka jest kolejność mnożenia (tzn. którą macierz przez którą należy pomnożyć) podczas rozwiązywania równań macierzowych za pomocą macierzy odwrotnej?
Weźmy taki przykład:
dana macierz A * X * dana macierz B = dana macierz C
Jaka jest kolejność mnożenia (tzn. którą macierz przez którą należy pomnożyć) podczas rozwiązywania równań macierzowych za pomocą macierzy odwrotnej?
Weźmy taki przykład:
dana macierz A * X * dana macierz B = dana macierz C
-
- Użytkownik
- Posty: 845
- Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Limanowa
- Pomógł: 191 razy
Równania macierzowe
jeśli mamy jak napisałeś
\(\displaystyle{ A\cdot X\cdot B=C}\)
to ważne jest żeby pomnożyć przez macierz odwrotną 'z tej samej strony' (tak żeby po jednej stronie, tu lewej, sie zredukowało, i z drugiej po tej samej), w tym przypadku mnożymy obie strony przez \(\displaystyle{ B^{-1}}\)z prawej i przez \(\displaystyle{ A^{-1}}\) z lewej:
\(\displaystyle{ A^{-1}\cdot A\cdot X\cdot B\cdot B^{-1}=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ A\cdot X\cdot B=C}\)
to ważne jest żeby pomnożyć przez macierz odwrotną 'z tej samej strony' (tak żeby po jednej stronie, tu lewej, sie zredukowało, i z drugiej po tej samej), w tym przypadku mnożymy obie strony przez \(\displaystyle{ B^{-1}}\)z prawej i przez \(\displaystyle{ A^{-1}}\) z lewej:
\(\displaystyle{ A^{-1}\cdot A\cdot X\cdot B\cdot B^{-1}=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 7 sie 2007, o 11:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: zabrze
- Podziękował: 1 raz
Równania macierzowe
Bardzo dziękuję za odpowiedź. Właśnie o to mi chodziło żeby dowiedzieć się, że należy mnożyć "z tej samej strony".
Mam podobne pytanie (ponieważ nie wychodzi mi tak jak powinno) jak obliczyć X, przy danej macierzy A i B
(A*X)^-1=B
Mam podobne pytanie (ponieważ nie wychodzi mi tak jak powinno) jak obliczyć X, przy danej macierzy A i B
(A*X)^-1=B
-
- Użytkownik
- Posty: 845
- Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Limanowa
- Pomógł: 191 razy
Równania macierzowe
\(\displaystyle{ (A\cdot X)^{-1}=B}\)
\(\displaystyle{ ((A\cdot X)^{-1})^{-1}=B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ A\cdot X=B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=A^{-1}\cdot B^{-1}}\)
PS: zapoznaj się z instrukcją LaTeXa, żeby zapis wyglądał ładniej
\(\displaystyle{ ((A\cdot X)^{-1})^{-1}=B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ A\cdot X=B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=A^{-1}\cdot B^{-1}}\)
PS: zapoznaj się z instrukcją LaTeXa, żeby zapis wyglądał ładniej
-
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 6 sty 2008, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieruszów
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 7 razy
Równania macierzowe
Może trochę odgrzewam, ale myślę, że nie ma sensu zaśmiecać forum nowymi tematami.
Rozumiem, że przez analogię poniższe równana będą rozwiązane tak, jak podałem:
Wszystkie litery to macierze, a X to macierz, którą mamy wyliczyć:
\(\displaystyle{ ABX=C}\)
\(\displaystyle{ BX=A^{-1}C}\)
\(\displaystyle{ X=B^{-1}A^{-1}C}\)
\(\displaystyle{ XAB=C}\)
\(\displaystyle{ XA=CB^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=CB^{-1}A^{-1}}\)
czy można też tak (najpierw wyliczam sobie iloczyn AB, później mnożę przez odwrotność):
\(\displaystyle{ ABX=C}\)
\(\displaystyle{ X=(AB)^{-1}C}\)
\(\displaystyle{ XAB=C}\)
\(\displaystyle{ X=C(AB)^{-1}}\)
Proszę o zweryfikowanie wszystkich powyższych równań, gdyż w poniedziałek mam poprawkę z algebry - będę bardzo wdzięczny za informacje...
Rozumiem, że przez analogię poniższe równana będą rozwiązane tak, jak podałem:
Wszystkie litery to macierze, a X to macierz, którą mamy wyliczyć:
\(\displaystyle{ ABX=C}\)
\(\displaystyle{ BX=A^{-1}C}\)
\(\displaystyle{ X=B^{-1}A^{-1}C}\)
\(\displaystyle{ XAB=C}\)
\(\displaystyle{ XA=CB^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=CB^{-1}A^{-1}}\)
czy można też tak (najpierw wyliczam sobie iloczyn AB, później mnożę przez odwrotność):
\(\displaystyle{ ABX=C}\)
\(\displaystyle{ X=(AB)^{-1}C}\)
\(\displaystyle{ XAB=C}\)
\(\displaystyle{ X=C(AB)^{-1}}\)
Proszę o zweryfikowanie wszystkich powyższych równań, gdyż w poniedziałek mam poprawkę z algebry - będę bardzo wdzięczny za informacje...
Ostatnio zmieniony 12 lut 2010, o 18:03 przez loonatic, łącznie zmieniany 1 raz.
Równania macierzowe
Hej,
Mam jedno zadanie do rozwiązania, jest strasznie trudne a mam jutro poprawę. Mógłby ktoś mi pomóc?
b) AX=C
A=[ 4 0 3]
[ 4 -1 5]
C=[2 1]
[1 1]
Sory, że taki zapis ale dopiero się tutaj zarejestrowałem i nie ogarniam
Mam jedno zadanie do rozwiązania, jest strasznie trudne a mam jutro poprawę. Mógłby ktoś mi pomóc?
b) AX=C
A=[ 4 0 3]
[ 4 -1 5]
C=[2 1]
[1 1]
Sory, że taki zapis ale dopiero się tutaj zarejestrowałem i nie ogarniam
- Quaerens
- Użytkownik
- Posty: 2489
- Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 439 razy
- Pomógł: 181 razy
Równania macierzowe
Wyżej już napisano nie można dzielić macierzy dlatego:
\(\displaystyle{ AX = C / \cdot A^{-1} \\ A^{-1} \cdot A \cdot X = C \cdot A^{-1} \\ I \cdot X = C \cdot A^{-1}}\)
I ma takie znaczenie w mnożeniu macierzy jak liczba 1, nie wnosi nic, ale lewostronnie mnożyłem przez macierz odwrotną do A.
\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{detA} \cdot A^{T}_{D}}\)
\(\displaystyle{ A^{T}_{D}}\) - macierz odwrotna dopełnień algebraicznych.
Pozdrawiam!
\(\displaystyle{ AX = C / \cdot A^{-1} \\ A^{-1} \cdot A \cdot X = C \cdot A^{-1} \\ I \cdot X = C \cdot A^{-1}}\)
I ma takie znaczenie w mnożeniu macierzy jak liczba 1, nie wnosi nic, ale lewostronnie mnożyłem przez macierz odwrotną do A.
\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{detA} \cdot A^{T}_{D}}\)
\(\displaystyle{ A^{T}_{D}}\) - macierz odwrotna dopełnień algebraicznych.
Pozdrawiam!
-
- Użytkownik
- Posty: 569
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 18:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BK
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 40 razy
Równania macierzowe
Domnożyłeś z lewej strony więc chyba powinno być \(\displaystyle{ IX=A^{-1} \cdot C}\)damianplflow pisze::
\(\displaystyle{ AX = C / \cdot A^{-1} \\ A^{-1} \cdot A \cdot X = C \cdot A^{-1} \\ I \cdot X = C \cdot A^{-1}}\)
Równania macierzowe
Witam. Znalazłem ten temat i przeanalizowałem powyższe przypadki, jednak chciałbym się upewnić, czy to zadanie jest dobrze:
\(\displaystyle{ 2X-XA+ B^{T}=8C}\)
Rozpisałem to tak:
\(\displaystyle{ 2X-XA \cdot A^{-1}+B^{T}=8C \cdot A^{-1}}\)
\(\displaystyle{ 2X-X \cdot I + B^{T}=8C \cdot A^{-1}}\)
\(\displaystyle{ 2X-X=8C \cdot A^{-1}-B^{T}}\)
więc wyszło, że
\(\displaystyle{ X=8C \cdot A^{-1}-B^{T}}\)
Czy dobrze jest to rozpisane?
\(\displaystyle{ 2X-XA+ B^{T}=8C}\)
Rozpisałem to tak:
\(\displaystyle{ 2X-XA \cdot A^{-1}+B^{T}=8C \cdot A^{-1}}\)
\(\displaystyle{ 2X-X \cdot I + B^{T}=8C \cdot A^{-1}}\)
\(\displaystyle{ 2X-X=8C \cdot A^{-1}-B^{T}}\)
więc wyszło, że
\(\displaystyle{ X=8C \cdot A^{-1}-B^{T}}\)
Czy dobrze jest to rozpisane?
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Równania macierzowe
To się t nie trzyma kupy nawet gdy \(\displaystyle{ A,B,C,X}\) są liczbami.
Wsk \(\displaystyle{ 2X=2IX}\)-- 6 gru 2015, o 20:57 --
"Rozwiąznie, które dostałęs jest oczywiście do niczego, bo macierz \(\displaystyle{ A}\) ne jest kwadratowa, więc \(\displaystyle{ A^{-1}}\) nie istnieje.
Wyznacz jaki wymiar musi mieć macierz \(\displaystyle{ X}\) i napisz ukłąd równań liniowych newidomymi, które są jej elementami.
Wsk \(\displaystyle{ 2X=2IX}\)-- 6 gru 2015, o 20:57 --
ymiatacz pisze:Hej,
Mam jedno zadanie do rozwiązania, jest strasznie trudne a mam jutro poprawę. Mógłby ktoś mi pomóc?
b) AX=C
A=[ 4 0 3]
[ 4 -1 5]
C=[2 1]
[1 1]
Sory, że taki zapis ale dopiero się tutaj zarejestrowałem i nie ogarniam
"Rozwiąznie, które dostałęs jest oczywiście do niczego, bo macierz \(\displaystyle{ A}\) ne jest kwadratowa, więc \(\displaystyle{ A^{-1}}\) nie istnieje.
Wyznacz jaki wymiar musi mieć macierz \(\displaystyle{ X}\) i napisz ukłąd równań liniowych newidomymi, które są jej elementami.
Równania macierzowe
dobra, widzę gdzie jest błąd:
powinno być:
\(\displaystyle{ x(2-A)+B^{T}=8C}\)
\(\displaystyle{ X=\frac{8C-B^{T}}{2-A}}\)
powinno być:
\(\displaystyle{ x(2-A)+B^{T}=8C}\)
\(\displaystyle{ X=\frac{8C-B^{T}}{2-A}}\)