Wykaż równość

[magda87]

Witam, mam problem z takim oto zadankiem:

Wykaż, że \(\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{9}\right)\cos\left(\frac{2 \pi}{9}\right)\cos\left(\frac{4\pi}{9}\right) = \frac{1}{8}}\).

Proszę o wskazówke.

[kerajs]

\(\displaystyle{ L=\cos\left(\frac{\pi}{9}\right)\cos\left(\frac{2 \pi}{9}\right)\cos\left(\frac{4\pi}{9}\right) =
\frac{2 \sin \frac{ \pi }{9} }{2 \sin \frac{ \pi }{9}} \cos\left(\frac{\pi}{9}\right)\cos\left(\frac{2 \pi}{9}\right)\cos\left(\frac{4\pi}{9}\right)=\\= \frac{1 }{2 \sin \frac{ \pi }{9}} \sin\left(\frac{2\pi}{9}\right)\cos\left(\frac{2 \pi}{9}\right)\cos\left(\frac{4\pi}{9}\right)= \frac{ 1 }{2 \sin \frac{ \pi }{9}} \frac{2}{2} \sin \left(\frac{2\pi}{9}\right)\cos\left(\frac{2 \pi}{9}\right)\cos\left(\frac{4\pi}{9}\right)=\\=\frac{ 1 }{4 \sin \frac{ \pi }{9}} \sin \left(\frac{4\pi}{9}\right)\cos\left(\frac{4\pi}{9}\right)= ...}\).

[magda87]

skąd się wziął ułamek \(\displaystyle{ \frac{2}{2}}\) w drugiej linijce?

[Jan Kraszewski]

Dopisaliśmy go, bo tak nam pasowało (żeby móc skorzystać ze wzoru na sinus kąta podwojonego). Mogliśmy to zrobić, bo zawsze można bezkarnie pomnożyć przez \(\displaystyle{ 1}\).

JK