Wyznaczyć sumę:
\(\displaystyle{ {n \choose 1}+{n \choose 5}+{n \choose 9}+....=}\)
Pomoże ktoś rozwiązać?
Suma - dwumian
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8714
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 338 razy
- Pomógł: 3434 razy
Suma - dwumian
\(\displaystyle{ {n \choose 1}+{n \choose 5}+{n \choose 9}+....=\\= {n-1 \choose 0}+{n-1 \choose 1}+{n-1 \choose 4}+{n-1 \choose 5}+{n-1 \choose 8}+{n-1 \choose 9}+....=}\)
Dla \(\displaystyle{ n=4k , \ , k \in \NN}\) masz ładny wynik:
\(\displaystyle{ ....= \frac{1}{2} (1+1) ^{n-1}=2^{n-2}}\)
Gorzej jest dla \(\displaystyle{ n=4k+ 1 \vee n=4k+3 \vee n+4k+3 \ , k \in \NN}\)
Dla \(\displaystyle{ n=4k , \ , k \in \NN}\) masz ładny wynik:
\(\displaystyle{ ....= \frac{1}{2} (1+1) ^{n-1}=2^{n-2}}\)
Gorzej jest dla \(\displaystyle{ n=4k+ 1 \vee n=4k+3 \vee n+4k+3 \ , k \in \NN}\)
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10307
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2431 razy
Suma - dwumian
Bardzo ładnie można to zadanie rozwiązać w języku algebry liniowej.
Wiemy, że zachodzi wzór Newtona:
\(\displaystyle{ (1+p)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot p^k.}\)
Jeśli oznaczymy
\(\displaystyle{ b = \left[ \binom{n}{0}, \ldots, \binom{n}{n} \right] \in \RR^{n+1}}\)
\(\displaystyle{ x_p = \left[ 1, p, \ldots, p^n \right] \in \RR^{n+1},}\) gdzie \(\displaystyle{ p \in \RR,}\)
to powyższy wzór możemy krócej zapisać w terminach iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ \left< \cdot, \cdot \right>}\):
\(\displaystyle{ (1+p)^n = \left< b, x_p \right>.}\)
Zauważmy, że szukana suma wynosi
\(\displaystyle{ \binom{n}{1} + \binom{n}{5} + \binom{n}{9} + \ldots = \left< b, v \right>,}\) gdzie \(\displaystyle{ v = [0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, \ldots ].}\)
Weźmy dowolne parami różne \(\displaystyle{ p_0, \ldots, p_n \in \RR.}\) Wiadomo z algebry liniowej, że wyznacznik jest niezerowy, więc wektory \(\displaystyle{ x_{p_0}, \ldots, x_{p_n}}\) są liniowo niezależne w \(\displaystyle{ \RR^{n+1},}\) zatem stanowią bazę tej przestrzeni. Możemy więc zapisać
\(\displaystyle{ v = \alpha_0 \cdot x_{p_0} + \ldots + \alpha_n \cdot x_{p_n}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ \alpha_0, \ldots, \alpha_n \in \RR.}\)
Dostajemy stąd
\(\displaystyle{ \left< b, v \right> = \left< b, \sum_{k=0}^n \alpha_k \cdot x_{p_k} \right> = \sum_{k=0}^n \alpha_k \cdot \left< b, x_{p_k} \right> = \sum_{k=0}^n \alpha_k \cdot (1+p_k)^n.}\)
Zauważmy ponadto, że \(\displaystyle{ v}\) traktowany jako ciąg jest "okresowy" z okresem długości \(\displaystyle{ 4,}\) więc wygodnie będzie go przedstawić jako kombinację liniową wektorów okresowych: niech
\(\displaystyle{ p_0 = 1, p_1 = i, p_2 = -1, p_3 = -i.}\) (pierwiastki \(\displaystyle{ 4}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\))
Wystarczy dobrać \(\displaystyle{ \alpha_0, \ldots, \alpha_3}\) tak, żeby
\(\displaystyle{ [0, 1, 0, 0] = \sum_{k=0}^3 \alpha_k \cdot [1, p_k, p_k^2, p_k^3],}\)
to wtedy
\(\displaystyle{ v = \sum_{k=0}^3 \alpha_k \cdot x_{p_k},}\)
bo na pozycjach od \(\displaystyle{ 4}\) w górę wartości zaczynają się powtarzać. Czyli pozostaje rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\alpha_0 \cdot 1 + \alpha_1 \cdot 1 + \alpha_2 \cdot 1 + \alpha_3 \cdot 1 = 0 \\
\alpha_0 \cdot 1 + \alpha_1 \cdot i - \alpha_2 \cdot 1 - \alpha_3 \cdot i = 1 \\
\alpha_0 \cdot 1 - \alpha_1 \cdot 1 + \alpha_2 \cdot 1 - \alpha_3 \cdot 1 = 0 \\
\alpha_0 \cdot 1 - \alpha_1 \cdot i - \alpha_2 \cdot 1 + \alpha_3 \cdot i = 0
\end{cases}}\)
i wtedy
\(\displaystyle{ \binom{n}{1} + \binom{n}{5} + \binom{n}{9} + \ldots = \alpha_0 \cdot 2^n + \alpha_1 \cdot (1+i)^n + \alpha_2 \cdot (1-1)^n + \alpha_3 \cdot (1-i)^n.}\)
(Tylko uwaga, bo \(\displaystyle{ \alpha_k}\) są zespolone. )
Wiemy, że zachodzi wzór Newtona:
\(\displaystyle{ (1+p)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot p^k.}\)
Jeśli oznaczymy
\(\displaystyle{ b = \left[ \binom{n}{0}, \ldots, \binom{n}{n} \right] \in \RR^{n+1}}\)
\(\displaystyle{ x_p = \left[ 1, p, \ldots, p^n \right] \in \RR^{n+1},}\) gdzie \(\displaystyle{ p \in \RR,}\)
to powyższy wzór możemy krócej zapisać w terminach iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ \left< \cdot, \cdot \right>}\):
\(\displaystyle{ (1+p)^n = \left< b, x_p \right>.}\)
Zauważmy, że szukana suma wynosi
\(\displaystyle{ \binom{n}{1} + \binom{n}{5} + \binom{n}{9} + \ldots = \left< b, v \right>,}\) gdzie \(\displaystyle{ v = [0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, \ldots ].}\)
Weźmy dowolne parami różne \(\displaystyle{ p_0, \ldots, p_n \in \RR.}\) Wiadomo z algebry liniowej, że wyznacznik
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Macierz_Vandermonde%27a\(\displaystyle{ v = \alpha_0 \cdot x_{p_0} + \ldots + \alpha_n \cdot x_{p_n}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ \alpha_0, \ldots, \alpha_n \in \RR.}\)
Dostajemy stąd
\(\displaystyle{ \left< b, v \right> = \left< b, \sum_{k=0}^n \alpha_k \cdot x_{p_k} \right> = \sum_{k=0}^n \alpha_k \cdot \left< b, x_{p_k} \right> = \sum_{k=0}^n \alpha_k \cdot (1+p_k)^n.}\)
Zauważmy ponadto, że \(\displaystyle{ v}\) traktowany jako ciąg jest "okresowy" z okresem długości \(\displaystyle{ 4,}\) więc wygodnie będzie go przedstawić jako kombinację liniową wektorów okresowych: niech
\(\displaystyle{ p_0 = 1, p_1 = i, p_2 = -1, p_3 = -i.}\) (pierwiastki \(\displaystyle{ 4}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\))
Wystarczy dobrać \(\displaystyle{ \alpha_0, \ldots, \alpha_3}\) tak, żeby
\(\displaystyle{ [0, 1, 0, 0] = \sum_{k=0}^3 \alpha_k \cdot [1, p_k, p_k^2, p_k^3],}\)
to wtedy
\(\displaystyle{ v = \sum_{k=0}^3 \alpha_k \cdot x_{p_k},}\)
bo na pozycjach od \(\displaystyle{ 4}\) w górę wartości zaczynają się powtarzać. Czyli pozostaje rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\alpha_0 \cdot 1 + \alpha_1 \cdot 1 + \alpha_2 \cdot 1 + \alpha_3 \cdot 1 = 0 \\
\alpha_0 \cdot 1 + \alpha_1 \cdot i - \alpha_2 \cdot 1 - \alpha_3 \cdot i = 1 \\
\alpha_0 \cdot 1 - \alpha_1 \cdot 1 + \alpha_2 \cdot 1 - \alpha_3 \cdot 1 = 0 \\
\alpha_0 \cdot 1 - \alpha_1 \cdot i - \alpha_2 \cdot 1 + \alpha_3 \cdot i = 0
\end{cases}}\)
i wtedy
\(\displaystyle{ \binom{n}{1} + \binom{n}{5} + \binom{n}{9} + \ldots = \alpha_0 \cdot 2^n + \alpha_1 \cdot (1+i)^n + \alpha_2 \cdot (1-1)^n + \alpha_3 \cdot (1-i)^n.}\)
(Tylko uwaga, bo \(\displaystyle{ \alpha_k}\) są zespolone. )