całka nieoznaczona

[sportowiec1993]

Mam wykazać, że:
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} \frac{ \mbox{d}x }{\left( x-b\right)^{p} }}\) jest
zbieżna dla p<1, a dla \(\displaystyle{ p \ge 1}\) rozbieżna.

Nie wiem, gdzie mam błąd obliczeniowy, ale mi wychodzi zupełnie na odwrót.

\(\displaystyle{ I = \frac{1}{1-p} \cdot {\left[ \frac{1}{\left( x-b\right)^{p-1 }\right]_a^b}}\)

dla p < 1 jest:

\(\displaystyle{ I = \frac{1}{1-p} \cdot \left( \left( 0\right)^{1-p} + \left( a-b\right) ^{1-p} \right)}\)

Doszedłem dotąd, ale z powyższego równania jakoś nie jestem w stanie zauważyć zbieżności...

[jarzabek89]

1) Błąd jest już w pierwszej całce. Co jeśli \(\displaystyle{ p=1}\)? Wtedy będzie logarytm.
To trzeba uwzględnić. Tego nie zrobiłeś.

Ile równe jest \(\displaystyle{ \frac{1}{0}}\) ?

Co do ostatniego wyrażenia.

Nie wiem, gdzie mam błąd obliczeniowy, ale mi wychodzi zupełnie na odwrót.

...

Doszedłem dotąd, ale z powyższego równania jakoś nie jestem w stanie zauważyć zbieżności...

Powiedz, jak tutaj doszedłeś do rozbieżności, skoro wychodzi CI odwrotnie.

[sportowiec1993]

czyli chodzi Ci o ten błąd w:

\(\displaystyle{ I = \frac{1}{1-p} \cdot {\left[ \frac{1}{\left( x-b\right)^{p-1 }\right]_a^b}}\)
czy jeszcze wcześniej?.

Co do p=1: to wtedy \(\displaystyle{ I =\left[ \ln (x-b) \right]_a^b = 1 - ln (a-b)}\) - to wtedy jest zbieżna
(???)

[a4karo]

to wtedy jest zbieżna

A co się dzieje, gdy wstawisz za \(\displaystyle{ x}\) górną granicę????

[sportowiec1993]

aa!!! racja
wtedy jest \(\displaystyle{ \ln 0}\) czyli:

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0^{+} } = - \infty}\) to by się zgadzało, że jest rozbieżna dla p=1,

no ale co z dowodem dla pozostałych p??
Przede wszystkim: czy całkę nieoznaczoną mam dobrze policzoną??

[a4karo]

Żeby sprawdzić, czy dobrze policzyłeś całkę nieznaczoną wystarczy zróżniczkować wynik. Sprawdź.

Problem nadal jest przy podstawieniu górnej granicy całkowania


Inna sprawa, że całka ma dość mało sensu: dla \(\displaystyle{ a<x<b}\) mamy \(\displaystyle{ x-b<0}\), a takie rzeczy się słabo potęguje

Dwója dla układacza zadań (i wstyd, że wcześniej nie zwróciłem na to uwagi).

[sportowiec1993]

dobrze, ponieważ w obecnej chwili nie mam czasu na pisanie rozwiniętej odpowiedzi (napiszę później)
to krótko:
zadanie z "Matematyka dla przyrodników i inżynierów" D.A McQuarie T1, rozdział 1.8

chciałem sobie poćwiczyć zadanka z całkami niewłaściwymi.
Chętnie przyjmę jakieś lepsze propozycję - nie muszą być jakieś ambitne
P.S sprawdziłem - całkę nieoznaczoną policzyłem dobrze