Rozwinąć funkcję w szereg Maclaurina

natalkagd · Post autor: **natalkagd** » 21 lis 2015, o 17:15

Rozwinąć funkcję w szereg Maclaurina
a) $\displaystyle{ f(x)= \sqrt{(1+x)^{3}}$
b) $\displaystyle{ \ln (1+e^{x})}$
Najlepiej bez liczenia kolejnych pochodnych. Jakieś wskazówki?

Yelon · Post autor: **Yelon** » 21 lis 2015, o 18:30

Wskazówka: poszukaj.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_Taylora

<- wzór Taylora (ogólny), szereg Maclaurina (czyli Taylor w $\displaystyle{ x _{0}=0}$), a nawet gotowe rozwinięcia niektórych funkcji.
W tym $\displaystyle{ (x+1) ^{\alpha}}$.

natalkagd · Post autor: **natalkagd** » 21 lis 2015, o 18:39

gdyby informacja z wikipedii mi wystarczyła to bym nie pisała..
Rozwinięcie $\displaystyle{ (1+x)^{3}}$ to akurat żeden problem, ale co z tym pierwiastkiem?

A co do logarytmu to mogę w rozwinięcie funkcji ln(1+x) w szereg w miejsce "x" wstawic te $\displaystyle{ e^{x}}$?

Post autor: **Dasio11** » 21 lis 2015, o 18:51

(a)
Raczej nie ma innego sposobu niż obliczyć te pochodne, ale one wychodzą przyzwoite. Jeśli wystarczy ci skorzystanie z podanego wzoru, to należy wziąć $\displaystyle{ \alpha = \frac{3}{2}.}$

(b)
To jest raczej trudne.

Zaproponowana przez ciebie metoda wydaje się naturalna, ale trudno mi nawet wyobrazić sobie, jaki szereg byłby rezultatem takiej operacji, a tym bardziej udowodnić, że ten szereg to w istocie szereg Maclaurina funkcji $\displaystyle{ \ln( 1+e^x ).}$

Nie mam do tej części żadnego pomysłu, ale przy użyciu metod analizy zespolonej można pokazać, że promieniem zbieżności tego szeregu jest $\displaystyle{ \pi.}$ Oznacza to, że jeśli

$\displaystyle{ \ln( 1 + e^x ) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot x^n,}$

to

$\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{1}{\pi}.}$

Poza tym

$\displaystyle{ \ln( 1+e^x ) - \frac{x}{2} = \ln \left( e^{\frac{x}{2}} + e^{-\frac{x}{2}} \right)}$

jest funkcją parzystą, zatem wszystkie współczynniki o nieparzystych indeksach są równe zero - z wyjątkiem $\displaystyle{ a_1,}$ który wynosi $\displaystyle{ \frac{1}{2}.}$

Można by zaatakować w ten sposób:

$\displaystyle{ f'(x) = \frac{e^x}{1+e^x} = \frac{1}{1+e^{-x}}}$

zatem jeśli

$\displaystyle{ f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n \cdot x^n \\[1ex]
1+e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} c_n \cdot x^n,}$

to

$\displaystyle{ \left( \sum_{n=0}^{\infty} b_n \cdot x^n \right) \left( \sum_{n=0}^{\infty} c_n \cdot x^n \right) = 1,}$

tj.

$\displaystyle{ $ \begin{alignat*}{3}
b_0 c_0 & = 1 \\[1ex]
\sum_{k=0}^n b_k c_{n-k} & = 0 & \text{ dla } n \ge 1.
\end{alignat*}}$

Dostajemy nieskończony układ równań, gdzie $\displaystyle{ c_n}$ są znane. Można stąd wyliczać kolejne $\displaystyle{ b_n}$ i próbować zauważyć jakąś regułę, a ze współczynników $\displaystyle{ b_n}$ funkcji $\displaystyle{ f'}$ można odzyskać współczynniki $\displaystyle{ a_n}$ funkcji $\displaystyle{ f.}$ Ale nie wiem, czy dostanie się coś sensownego.

natalkagd · Post autor: **natalkagd** » 21 lis 2015, o 19:21

Dziękuje Ci za odpowiedz:

co do a) to tak naprawdę od samego począrku mysłałam właśnie o tym żeby wziąć $\displaystyle{ \alpha=\frac{3}{2}}$ tyle ,że we wzorze jest silnia i to treoche tak nie naturalnie wygląda ten ułamek, można tak wogole zapisac?

Post autor: **Dasio11** » 21 lis 2015, o 21:45

Definiuje się

$\displaystyle{ \binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha \cdot (\alpha - 1) \cdot \ldots \cdot (\alpha - n + 1)}{n!}}$

i wtedy nie ma znaczenia, że $\displaystyle{ \alpha}$ nie jest całkowite, za to $\displaystyle{ n}$ musi być całkowite nieujemne.