Oblicz granicę.

[coldeyes]

Witajcie
Mam problem z dwiema granicami:
a) \(\displaystyle{ \lim_{ \to \infty }( \sqrt{ x^{2}+2x}- \sqrt{ x^{2}-2x})}\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{ \to \infty } (\sqrt{ x^{2}-x+1 }-x)}\).
W pierwszym mnożyłam razy równanie z przeciwnym znakiem, ale granica wtedy wyszła mi nieskończoność, a powinno być 2...
W drugim przypadku pomnożyłam razy: \(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2}-x+1 }+x}\),ale nie wiem co potem z tym zrobić
Z góry dziękuję, za wskazówki

[Lbubsazob]

W obu przypadkach sprzężenie. Pokaż, jak liczysz, to będzie można znaleźć błąd.

[coldeyes]

Okej, a) \(\displaystyle{ \lim_{ \to \infty }\frac{( \sqrt{ x^{2}+2x }- \sqrt{ x^{2}-2x) } }{1} }* \frac{( \sqrt{ x^{2}+2x }+ \sqrt{ x^{2}-2x)} }{( \sqrt{ x^{2}+2x }+ \sqrt{ x^{2}-2x)} }= \frac{ x^{2}+2x- x^{2}+2x }{( \sqrt{ x^{2}+2x }+ \sqrt{ x^{2}-2x)} } = \frac{4x}{\sqrt{ x^{2}+2x }+ \sqrt{ x^{2}-2x)} }}\)
i dalej wnioskowałam, że granica \(\displaystyle{ = \infty}\)

[leg14]

Dlaczego?Wyciagnij x z licznika i mianownika.

[coldeyes]

Czyli, że \(\displaystyle{ \frac{4x}{ \sqrt{ x^{2}+2x }+ \sqrt{x^{2}-2x} } = \frac{4x}{ \sqrt{x(x+2)}+ \sqrt{x(x-2)} }}\)?
I teraz mam podzielić licznik i mianownik przez x jako największą potęgę mianownika?

[leg14]

Tak

[Lbubsazob]

Wyrażenia pod pierwiastkami podziel przez \(\displaystyle{ x^2}\) zamiast przez \(\displaystyle{ x}\).

[coldeyes]

Jak dzielę mianownik, przez \(\displaystyle{ x^{2}}\)to: \(\displaystyle{ \sqrt{1+ \frac{2}{x}} + \sqrt{1- \frac{2}{x} } }}\)
i z tego wychodzi mi 2, ale czy licznika też nie powinnam dzielić przez \(\displaystyle{ x^{2}}\)?

[florek177]

\(\displaystyle{ \, \frac{\frac{4x}{x}}{\frac{\sqrt{...}}{x}} = \frac{\frac{4x}{x}}{\frac{\sqrt{...}}{\sqrt{x^{2}}}} = \frac{4}{1 + 1}}\)

[coldeyes]

Okej, już rozumiem. Dziękuję wszystkim