Tw. o trzech ciągach

[Sundaybadday]

Mam problem z policzeniem tych granic na podstawie tw. o trzech ciągach:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{E(n \sqrt{2}) }{E(n \sqrt{3} }}\)

Czym właściwie owo E jest? Do tej pory nie spotkałem się z nim.

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } = \sqrt[n+1]{2n + 3}}\)

Pozdrawiam.

[jarek4700]

Pewnie chodzi o część całkowitą Entier. Dla dodatnich \(\displaystyle{ x}\) masz \(\displaystyle{ x\ge E(x)>x-1}\)

[Sundaybadday]

Dziękuje, a co do 2 przykładu jakaś wskazówka?

[jarek4700]

\(\displaystyle{ 2n+2< 2n+3 < 4n+4}\)

[Sundaybadday]

Czyli nie muszę brać pod uwagę stopnia pierwiastka?

[jarek4700]

Nie, bo możesz podstawić \(\displaystyle{ n+1=t}\) i wtedy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty \Rightarrow t \rightarrow \infty}\)

[Sundaybadday]

Tylko mam teraz problem z tymi granicami jak je dalej policzyć?
\(\displaystyle{ a_{n}= \sqrt[n+1]{2n+2} \le b_{n}= \sqrt[n+1]{2n+3} \le c_{n} = \sqrt[n+1]{2n+4}}\)
powinienem 2 raz skorzystać z twierdzenia o 3 ciągach tym razem dla \(\displaystyle{ a_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ c_{n}}\) ?

[jarek4700]

Skąd to wziąłeś?

\(\displaystyle{ \sqrt[n+1]{2n+2} \le \sqrt[n+1]{2n+3} \le \sqrt[n+1]{4n+4}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[n+1]{2}\sqrt[n+1]{n+1} \le \sqrt[n+1]{2n+3} \le \sqrt[n+1]{4}\sqrt[n+1]{n+1}}\)

Po lewej i prawej zbiega do jedynki.

[Sundaybadday]

No faktycznie można tak to zrobić.
Dziękuje.

A mógł byś zapisać warunek dla tego z Entier?

[jarek4700]

Żeby zwiększyć ułamek to trzeba zwiększyć licznik a mianownik zmniejszyć. A żeby zmniejszyć ułamek to na odwrót.

Czyli:

\(\displaystyle{ \frac{n\sqrt{2}-1}{n\sqrt{3}} < \frac{E(n\sqrt{2})}{E(n\sqrt{3})} < \frac{n\sqrt{2}}{n\sqrt{3}-1}}\)

Tym razem z obu stron zbiega do \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2}{3}}}\)

[Sundaybadday]

Bardzo dziękuję za pomoc