Równanie funkcyjne jedna funkcja, dwie zmienne

[Poszukujaca]

Rozwiązać \(\displaystyle{ f(f(x)-y))=f(x) + f(f(y)-f(-x))+x}\).

Gdy podstawiam \(\displaystyle{ x=0, y=0}\) otrzymuję \(\displaystyle{ f(f(0))=2 f(0)}\).

Ale na razie nie potrafię znaleźć innego trafnego podstawienia, ktore ostatecznie doprowadziłoby mnie do rozwiązania.

[jarek4700]

Zróżniczkowałem obustronnie po \(\displaystyle{ x}\)

Wyszło, że \(\displaystyle{ \left(\frac{ \partial f}{\partial x}\right)^{2} = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2} + \frac{\partial f}{\partial x} + 1}\)

Z czego by wynikało, że pasuje funkcja liniowa postaci \(\displaystyle{ f(x)=-x+b}\)

Podstawiając to do wyjściowego równania wychodzi \(\displaystyle{ b=0}\).

Mogą istnieć też inne rozwiązania (jakieś brzydkie nieróżniczkowalne).

[Poszukujaca]

A jak obliczyłeś \(\displaystyle{ f'(f(x)-y)}\) ?

[jarek4700]

Wzór na pochodną funkcji złożonej

[Premislav]

Podstawiając \(\displaystyle{ y=-x}\), mamy
\(\displaystyle{ f(f(x)+x)=f(x)+x}\)
Może to coś da? Aha, u Ciebie, Poszukujaca, powinno chyba być \(\displaystyle{ f(f(0))=f(0)}\), a nie \(\displaystyle{ 2f(0)}\).

[jarek4700]

Hmm, no ale identyczność będzie w takim razie dobra tylko na prostej \(\displaystyle{ y=-x}\) ?
A nie wszędzie.
Minus identyczność pasuje wszędzie.

[Poszukujaca]

jarek4700, jak różniczukę wychodzi mi tak:

\(\displaystyle{ f'(f(x)-y) f'(x) =f'(x) f'(f(y)-f(-x)) \left( f'(y)-f'(-x)\right)}\)

Skąd się wzięło \(\displaystyle{ \left(\frac{ \partial f}{\partial x}\right)^{2}}\)?

[jarek4700]

Coś się zaplątałem, ale wynik wyszedł dobry. Pozostaje zgadnąć, że funkcja jest liniowa \(\displaystyle{ f(t)=at+b}\) i obliczyć współczynniki \(\displaystyle{ a,b}\).

Wychodzi minus identyczność.

[Poszukujaca]

jarek4700, czy możesz wyjaśnić dlaczego wyszło Ci takie rownanie z pochodnymi?

[Marcinek665]

Różniczkując, tracimy potencjalnie mnóstwo innych rozwiązań, bo zakładamy, że funkcja ma pochodną.

[Zahion]

Na początek dowodzimy, że \(\displaystyle{ f\left( 0\right) = 0}\), pózniej kilka prostych podstawień ( \(\displaystyle{ y = f\left( x\right), x = 0}\)) daje nam odpowiedz

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ f\left( x\right) = - x}\)

[Poszukujaca]

Podsumowując:

1) podstawienie \(\displaystyle{ x=0, y=0}\)
\(\displaystyle{ f(f(0))=f(0)+f(f(0)-f(0))+0=f(0)}\)

2) podstawienie \(\displaystyle{ x=-y}\)
\(\displaystyle{ f(f(-y)-y)=f(-y)+f(f(y)-f(y))-y=f(-y)-y}\)
Czy z tego wynika, że \(\displaystyle{ \forall_{x \in \RR }: f(f(x))=f(x)}\) ?

3) podstawienie \(\displaystyle{ y=f(x)}\). Przez moment zaczęłam się zastanawiać, czy to podstawienie jest właściwe. \(\displaystyle{ x, y}\) są zmiennymi różnymi od siebie, zatem \(\displaystyle{ f(x)}\) też jest zmeinną. Podstawiając za \(\displaystyle{ y =f(x)}\) tak jakby zmieniamy nazwę (oznaczenie) zmiennej., wiec dlatego możemy tak zrobić. Bardzo proszę o komentarz, czy dobrze myślę.
Poza tym podstawiamy \(\displaystyle{ x=0}\)
\(\displaystyle{ f(y-y)=y+ f(f(y)-f(0))+0}\)
Teraz wiemy, że \(\displaystyle{ f(f(y))=f(y)}\) więc \(\displaystyle{ f(f(y)-f(0))=f(y)-f(0)}\)
Ponadto \(\displaystyle{ f(0)=0}\) o jak do powyższego równania wstawię \(\displaystyle{ y= 0}\), to otrzymam, że funkcja przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Z podstawienia 3 otrzymuje więc: \(\displaystyle{ f(0)=y+f(f(y)) \Rightarrow f(y)=-y}\)

Bardzo proszę o sprawdzenie i skomentowanie.

[Premislav]

A ja mam takie trochę offtopowe pytanie (choć nawiązuje to do jednej z Twoich wątpliwości, Poszukujaca): jak uzasadnić poprawność podstawienia \(\displaystyle{ y=f(x)}\)? Czy wykonując to podstawienie, nie ograniczamy się do surjekcji na \(\displaystyle{ \RR}\)? Bo przecież teoretycznie mogłoby zdarzyć się tak, że zbiór wartości \(\displaystyle{ f}\) jest podzbiorem właściwym \(\displaystyle{ \RR}\) i wtedy nie dla każdego \(\displaystyle{ y\in \RR}\) znajdziemy taki \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ f(x)=y.}\) Czyli tak jakby ucinamy pewne potencjalne rozwiązania niebędące surjekcjami, które moglibyśmy otrzymać (choć możliwe, ze takie nie istnieją, tylko nie widzę czemu).
Jeżeli piszę jakieś straszne głupoty, to proszę o wyjaśnienie, a nie kpinę, nie każdy urodził się matematykiem.

Aha, mogę za to odpowiedzieć na to:

2) podstawienie \(\displaystyle{ x=-y}\)
\(\displaystyle{ f(f(-y)-y)=f(-y)+f(f(y)-f(y))-y=f(-y)-y}\)
Czy z tego wynika, że\(\displaystyle{ \forall_{x \in \RR }: f(f(x))=f(x)}\) ?

Absolutnie nie i nie wiem, jak przebiega Twoje rozumowanie do takich wniosków prowadzące. Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=-x}\), która jak już wspomniano spełnia to równanie, nie spełnia postulatu
\(\displaystyle{ \forall_{x \in \RR }: f(f(x))=f(x)}\)

[Zahion]

Wydaje mi się Premislav, że odpowiedz na Twoje pytanie powinna znalezć się w treści zadania, która obecnie nie jest pełna i zakłada się po kryjomu pewne kwestie.

Podstawiając \(\displaystyle{ x = 0}\) mamy, że \(\displaystyle{ f\left( -y\right) = f\left( f\left( y\right) \right)}\).
Jeszcze nie widzę dowodu, dlaczego \(\displaystyle{ f\left( 0\right) = 0}\).

[Poszukujaca]

jak uzasadnić poprawność podstawienia \(\displaystyle{ y=f(x)}\)? Czy wykonując to podstawienie, nie ograniczamy się do surjekcji na \(\displaystyle{ \RR}\)? Bo przecież teoretycznie mogłoby zdarzyć się tak, że zbiór wartości \(\displaystyle{ f}\) jest podzbiorem właściwym \(\displaystyle{ \RR}\) i wtedy nie dla każdego \(\displaystyle{ y\in \RR}\) znajdziemy taki \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ f(x)=y.}\) Czyli tak jakby ucinamy pewne potencjalne rozwiązania niebędące surjekcjami, które moglibyśmy otrzymać (choć możliwe, ze takie nie istnieją, tylko nie widzę czemu).

Podobają mi się te przemyślenia.

Aha, mogę za to odpowiedzieć na to:

2) podstawienie \(\displaystyle{ x=-y}\)
\(\displaystyle{ f(f(-y)-y)=f(-y)+f(f(y)-f(y))-y=f(-y)-y}\)
Czy z tego wynika, że\(\displaystyle{ \forall_{x \in \RR }: f(f(x))=f(x)}\) ?

Absolutnie nie i nie wiem, jak przebiega Twoje rozumowanie do takich wniosków prowadzące. Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=-x}\), która jak już wspomniano spełnia to równanie, nie spełnia postulatu
\(\displaystyle{ \forall_{x \in \RR }: f(f(x))=f(x)}\)

Dlaczego?

Jak udowodnić, że \(\displaystyle{ f(0)=0}\) ?