Problem z granicą

[vertimus]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0}=( \frac{1}{ x^{2} }- \frac{1}{ sin^{2}x })}\)

Nie mogę w ogole tego policzyć.... Próbowałem z Hospitala... Sprowadziłem do wspolnego mianownika ale trzy razy robilem z deHospitala ale nie wychodzi.

[Alef]

1. Zapis!

2. Wolfram policzył:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\left( \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{\sin^{2}(x)}\right)=-\frac{1}{3}}\)

3. Metoda dobra. Musisz nam pokazać krok po kroku jak liczysz. Wówczas uda się wyłapać błąd.

[vertimus]

\(\displaystyle{ \frac{sin^2(x)-x^2}{sin^2(x)x^2}}\)
Z tego policzyłem pochodną
Wychodzi mi:
\(\displaystyle{ \frac{2sinxcosx-2x}{2sinxcosx x^2+sin^2x2x}}\)
I znowu liczyłem pochodne...
\(\displaystyle{ \frac{2(-sinxsinx + (-cosxcosx))-2}{\text{i dół ponownie obliczyłem pochodne.}}}\)

[Alef]

Proszę popraw ten zapis, bo jest zupełnie nieczytelny!

[a4karo]

de l'Hospital pojdzie, ale musisz to zrobic 4 razy. Lepiej uzyć faktu, że \(\displaystyle{ \sin x\approx x\red{-}\frac{x^3}{6}}\)


Poprawiłęm znak (dzieki Premislav)

[vertimus]

No dobrze ale podstawiam \(\displaystyle{ (\sin x) ^{2}}\) czyli czyli mamy \(\displaystyle{ (x- \frac{x ^{3} }{6})^{2}.}\)

[leg14]

No i bedzie ok.Generalnie ta rownosc asymptotyczna zaznaczasz w takich sytuacjach tym, ze jest jeszce dodana reszta w tym wypadku rowna \(\displaystyle{ r(x) = o(x^5)}\) tzn \(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0 } \frac{r(x)}{x^5}=0}\)


\(\displaystyle{ (x- \frac{x ^{3} }{6} + o(x^5))^{2}= x^2 - \frac{x ^{4} }{3} + \alpha}\) gdzie
\(\displaystyle{ \alpha}\) jak sie przypatrzysz to po prostu \(\displaystyle{ r_{2}(x) = o(x^5)}\)
Dalej juz latwo z tego, ze sinus jest asymptotycznie rowny x