Ugięcie belki - zastosowanie sprężyny obrotowej

[Damian905]

Witam,
Moje zadanie polega na tym, aby ustalić jaką sztywność powinna mieć sprężyna, aby obciążona siłą na końcu belka (belka połączona ze sprężyną), uzyskała taką samą deformację na końcu, jak przy normalnym obliczeniu tego ugięcia drogą analityczną. Macie jakiś pomysł, lub ktoś zna jakąś zależność, bo próbowałem zwykłego \(\displaystyle{ k = \frac{EI}{l}}\) , ale to raczej nie to, bo po symulacjach nie daje to dobrego rezultatu. Dorzucam również zdjęcie tego o co mi mniej więcej chodzi.

[SlotaWoj]

Gdy belka zostanie utwierdzona „sprężyście” to wcale nie oznacza, że pod obciążeniem będzie odkształcana tylko „sprężyna”, a belka już nie. Będzie odkształcało się jedno i drugie i przy takim samym obciążeniu ugięcie końca belki utwierdzonej sprężyście będzie większe niż utwierdzonej sztywno.

[kruszewski]

Ze schematu można wnioskować, że belka jest nieważka ale sprężysta.
Jeżeli utwierdzenie zastępuje się sprężyną, spiralną, o środku w osi utwierdzenia to
1. Z równań odkształcenia belki poddanej obciążeniu wyliczyć kąt o jaki obrócił się nieutwierdzony koniec belki względem osi utwierdzenia, \(\displaystyle{ tg = \varphi \frac{d}{l}}\), gdzie \(\displaystyle{ l<l_o}\)
2. zaprojektować (obliczyć wymiary geometryczne) i dobrać jej materiał (co do gatunku i właściwości sprężystych) sprężyny spiralnej, takiej, że przy obliczonym wg pkt.1 kącie skręcenia siła na swobodnym jej końcu będzie taka, że moment tej siły względem osi sprężyny będzie równy momentowi utwierdzenia w sztywnym utwierdzeniu.
3. Zamiast sztywnego utwierdzenia zastosować przegub. (Zawias o osi obrotu prostopadłej do płaszczyzny w której belka się ugina.

[Damian905]

Ze schematu można wnioskować, że belka jest nieważka ale sprężysta.
Jeżeli utwierdzenie zastępuje się sprężyną, spiralną, o środku w osi utwierdzenia to
1. Z równań odkształcenia belki poddanej obciążeniu wyliczyć kąt o jaki obrócił się nieutwierdzony koniec belki względem osi utwierdzenia,\(\displaystyle{ tg \varphi = \frac{d}{l}}\), gdzie \(\displaystyle{ l<l_o}\)
2. zaprojektować (obliczyć wymiary geometryczne) i dobrać jej materiał (co do gatunku i właściwości sprężystych) sprężyny spiralnej, takiej, że przy obliczonym wg pkt.1 kącie skręcenia siła na swobodnym jej końcu będzie taka, że moment tej siły względem osi sprężyny będzie równy momentowi utwierdzenia w sztywnym utwierdzeniu.
3. Zamiast sztywnego utwierdzenia zastosować przegub. (Zawias o osi obrotu prostopadłej do płaszczyzny w której belka się ugina.

Dziękuje za odpowiedź. Wykombinowałem coś takiego, obliczeniowo się to nawet zgadza, jednak nie wiem czy moje rozumowanie jest do końca poprawne.
Skoro
\(\displaystyle{ tg \varphi = \frac{d}{l} \Rightarrow \varphi = atan \frac{d}{l} (1)}\)
Ale wiemy też, że
\(\displaystyle{ M = k*\varphi (2)}\) to podstawiając \(\displaystyle{ (1)}\) do \(\displaystyle{ (2)}\) i po uporządkowaniu dostajemy
\(\displaystyle{ k = \frac{M}{atan\frac{d}{l}} =\frac{f*l}{atan\frac{d}{l}}}\)
A \(\displaystyle{ d}\) możemy obliczyć ze znanego wzoru na ugięcie dla przypadku jednostronnie zamurowanego czyli \(\displaystyle{ d = \frac {fl^3}{3EI}}\)
I to wstawiając do wzoru na \(\displaystyle{ k}\) otrzymamy
\(\displaystyle{ k = \frac{f*l}{atan\frac{\frac {fl^3}{3EI}}{l}}}\)
Można tak to zrobić? Bo już sam sobie nie wierze.

[kruszewski]

Sprężyny spiralne mogą mieć zewnętrzny koniec utwierdzony bądź zamocowany przegubowo. Sposób zamocowania ma wpływ na wartość momentu obciążającego sprężynę ale i w konsekwencji kąt obrotu.
Moment i kąt skręcenia dla sprężyny z utwierdzonym zewnętrznym końcem określają wzory:
\(\displaystyle{ M= \frac{bh^2}{6}k_g}\)

\(\displaystyle{ \varphi= \frac{12M \cdot l}{bh^3 \cdot E}}\)

dla zamocowania przegubowego odpowiednio:

\(\displaystyle{ M= \frac{bh^2}{12}k_g}\)

\(\displaystyle{ \varphi= \frac{15M \cdot l}{bh^3 \cdot E}}\)

Dla ilości zwojów , dla \(\displaystyle{ n<3}\) dopuszczalny moment jest mniejszy ( przy tej samej wartości \(\displaystyle{ k_g}\)) w stosunku \(\displaystyle{ \frac{1}{ \alpha }}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) nie jest kątem a współczynnikiem zależnym mocno nieliniowo od ilości zwojów sprężyny i "ciasności" \(\displaystyle{ \lambda= \frac{R_2-R_1}{R_1}}\) zwinięcia sprężyny, a \(\displaystyle{ R_1 \ i\ R_2}\) są odległościami od osi obrotu początku i końca sprężyny.
Współczynnik \(\displaystyle{ {\alpha }}\) jest podawany w formie wykresów.

Konstrukcyjnie rozwiązanie to polegałoby na utwierdzeniu początku sprężyny (taśmy) do swobodnie obracającej się osi (sworznia) do którego mocowana jest belka, zaś koniec sprężyny jest umocowany do ostoi konstrukcji. ( jak włos balansu w zegarku mechanicznym).

[SlotaWoj]

Ja to zadanie zrobiłbym tak.

Masz belkę o długości \(\displaystyle{ l}\) i momencie bezwładności \(\displaystyle{ J}\) obciążoną na końcu prostopadłą siłą skupioną \(\displaystyle{ F}\). Ugięcie końca belki jest równe:

• \(\displaystyle{ d=\frac{Fl^3}{3EJ}}\)

Zastępujesz tę belkę inną, o znacznie większej sztywności, np. \(\displaystyle{ 100J}\) (belka przekroju skrzynkowym, a nie litym). Pod obciążeniem \(\displaystyle{ F}\) koniec tej nowej belki ugnie się (tu) o \(\displaystyle{ 0,01}\) ugięcia „starej” belki. Należy zaprojektować sprężynę skręcaną pracującą w przegubie, którym zastępujesz utwierdzenie taką, aby pod obciążeniem F koniec belki ugiął się (tu) o \(\displaystyle{ 0,99}\) ugięcia starej belki.

[Damian905]

Dziękuję za odpowiedzi. SlotaWoj i kruszewski.
Niestety program w którym mam zamodelować taki układ ze sprężyną ma możliwość podania dla sprężyny obrotowej tylko sztywności i tłumienia. Mogę łączyć ją różnymi parami kinematycznymi z belką. Dlatego tak ważne jest obliczenie sztywności. Ale chyba sobie daruję, bo nic ciekawego nie uda mi się wymyślić.

[kruszewski]

Ja bym sobie nie darował, nawet na starość. Sztywność to stosunek kąta obrotu do momentu. Tłumienie? Jak dla belki zginanej o wymiarach \(\displaystyle{ b}\)x\(\displaystyle{ h}\)x\(\displaystyle{ l}\) i module sprężystości jak dla stali. Amplituda kąta jak amplituda kąta prostej belki.
Niech Pan nie odpuszcza sprawy! Trud się opłaci.

[Damian905]

kruszewski motywujące słowa zawsze są pomocne, dziękuje Panu bardzo , tylko już trochę siedzę nad tym i jak do tej pory marne są skutki mojego siedzenie. A czy mógłby Pan polecić jakieś książki, gdzie można więcej poczytać o sprężynach obrotowych, najlepiej po polsku, ale może być też po angielsku, bo mam kilka książek takich najbardziej znanych z wytrzymałości materiałów i konstrukcji, ale o sprężynach obrotowych tam jest albo bardzo mało, albo wcale nie są uwzględnione.

[kruszewski]

Wyniki wyszukiwania (w Google)

Żukowski Stefan - Sprężyny.

To biblia tego wynalazku. Powinna być w bibliotekach uczelnianych.
Żukowski S.: Sprężyny - Nauki Inżynierskie - Nauki ...
sklep.skrypt.com.pl/.../zukowski-s-sprezyny-nauki-inzynierskie-nauki-te...
Żukowski S.: Sprężyny Dane wydawnicze: PWT 1955 stron: 424, oprawa: miękka. Stan: załamania okładki i grzbietu.
Wydatek około 35 zł. jest jedna sztuka do kupienia.
Warto mieć taką.
W.Kr.

[SlotaWoj]

To znaczy, że nic nie trzeba projektować.

Ugięcie rzeczywistej belki o skończonej sztywności, należy zastąpić obrotem belki o nieskończenie wielkiej sztywności osadzonej poprzez sprężynę o kątowym współczynniku sprężystości:

• \(\displaystyle{ k=\frac{3EJ}{l}}\)

przy założeniu, że kąty są małe, bo wówczas \(\displaystyle{ \tg\varphi=\varphi}\).

[Damian905]

Dziękuję za odpowiedź SlotaWoj. Gdy liczę tą sztywność Pana wzorem i wzorem który sobie wcześniej wyprowadziłem dostaję takie same wyniki, więc błąd mam w programie do modelowania, i tam muszę szukać błędu.