Transformacja funkcji

Tomek_Fizyk-10 · Post autor: **Tomek_Fizyk-10** » 12 lis 2015, o 09:00

Witam. Nie mogę poradzić sobie z jednym zagadnieniem.

Transformacja \(\displaystyle{ L}\) zamienia funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\) w nową funkcję \(\displaystyle{ F(s)}\) w poniższy sposób.
\(\displaystyle{ L \left\{ f(x)\right\} = f(0) \cdot s = F(s)}\)

Jak będzie wyglądała transformacja odwrotna (jeśli mamy dane \(\displaystyle{ F(s)}\) i szukamy \(\displaystyle{ f(x)}\))?

\(\displaystyle{ L ^{-1} \left\{ F(s) \right\} = ??? = f(x)}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 12 lis 2015, o 12:14

Nie da się znaleźć jednoznacznie takiej "transformaty odwrotnej" (jak np. dla transformaty Laplace'a, która jest różnowartościowa). Twoja transformata nie jest różnowartościowa. Np. ile wynosi dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^n+1}\)?

Sprawę można naprawić wprowadzając następującą relacją równoważności: niech \(\displaystyle{ f\sim g\iff f(0)=g(0)}\). Rozważając klasy abstrakcji względem tej relacji otrzymamy różnowartościowość i można by liczyć transformatę odwrotną. Jeśli \(\displaystyle{ F(s)=\alpha s}\), to transformatę odwrotną będzie stanowiła klasa abstrakcji wyznaczona np. przez funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\alpha}\)

Tomek_Fizyk-10 · Post autor: **Tomek_Fizyk-10** » 13 lis 2015, o 08:51

A tak nawiasem może znasz jakieś ciekawe wyprowadzenie transformaty odwrotnej Laplace'a?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 13 lis 2015, o 09:12

Nie znam. Oczywiście znam wzór. Możesz spróbować go scałkować.

Tomek_Fizyk-10 · Post autor: **Tomek_Fizyk-10** » 13 lis 2015, o 21:21

Ogólnie ostatnio zainteresowało mnie szukanie transformat odwrotnych, do jakiejś konkretnie danej transformaty... jeśli miałby ktoś coś do powiedzenia w tym temacie, byłbym bardzo wdzięczny. Pozdrawiam