Dowód związany ze zbieżnością ciągów

[martianho]

Dobry wieczór, taki oto problem napotkałem i po stoczonych bojach doszedłem do finalnego wniosku: nie umiem... dlatego liczę na Waszą wiedzę i pomoc przy uporaniu się z takim oto zadaniem:

Czy jeśli \(\displaystyle{ lim(c_{n} - a_{n}) = 0, a_{n} \le b_{n} \le c_{n}}\) oraz ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\) jest zbieżny, to ciągi \(\displaystyle{ a_{n}}\) i \(\displaystyle{ c_{n}}\) też muszą być zbieżne?

Po walkach z tym przykładem w poszukiwaniu kontrprzykładu dochodzę do wniosku, że jednak musi być to prawda, tylko nie potrafię tego stanowiska obronić, proszę o pomoc w miarę możliwości.

[Qń]

Mamy:
\(\displaystyle{ 0\le b_n-a_n \le c_n-a_n}\)
Zatem z twierdzenia o trzech ciągach \(\displaystyle{ b_n-a_n}\) zbieżny i dalej łatwo.

Q.

[martianho]

super, dziękuję Ci ślicznie!