Zbadać monotoniczność i ograniczność

[Balusiek]

Witam,
mam problem z ograniczonością ciągu. Niestety ominęły mnie jedne zajęcia z tego i nie jestem wstanie tego do końca zrozumieć.
O to przykład zadania:
Zbadać monotoniczność i ograniczoność
\(\displaystyle{ a _{n} = \frac{5n+1}{2n+3}}\)
Rozumie, żeby sprawdzić monotoniczność to muszę wykonać działanie:
\(\displaystyle{ a _{n+1} - a_{n}= \frac{13}{(2n+5)(2n+3)}}\) , czyli ciąg jest rosnący. Ale nie wiem jak teraz zabrać się za ograniczoność.

[szw1710]

Wskazówka: ciąg zbieżny jest ograniczony.

[Balusiek]

Czyli muszę obliczyć granicę, tak?
Ona jest równa \(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\)
Czy to oznacza, że ciąg ten jest ograniczony z góry liczbą \(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\),a z dołu?

[szw1710]

Ograniczenie dolne jest widoczne. Ograniczenie górne - coś jeszcze trzeba by udowodnić. Nie zawsze granica jest ograniczeniem górnym ciągu.

Odpowiedni argument znajduje się już w tym wątku.

[Balusiek]

Ograniczone dolne to w tedy będzie pierwszy wyraz ciągu, tak?
\(\displaystyle{ a _{1}=7/5}\)
a co trzeba jeszcze udowodnić?

[szw1710]

Też niekoniecznie.

Podam Ci przykład na to, co trzeba udowodnić. Masz taki ciąg:

\(\displaystyle{ \left(4,-2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots\right)\,.}\)

Ograniczeniem dolnym nie jest pierwszy wyraz, ograniczeniem górnym nie jest granica.

[Balusiek]

No dobra, to próbuje dalej. Skoro założyłam, że z góry ciąg jest ograniczony liczbą \(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\) to muszę sprawdzić czy wszystkie wyrazy ciągu leżą poniżej tej liczby, tak?
Czyli rozwiązać to: \(\displaystyle{ \frac{5}{2} > \frac{5n+1}{2n+3}}\) i to ogólnie wychodzi \(\displaystyle{ \frac{13}{n+6}>0}\)
I jeżeli zaglądam, że ciąg jest ograniczony liczba \(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\) to muszę sprawdzić czy \(\displaystyle{ \frac{5n+1}{2n+3}< \frac{5}{2}}\) i ogólnie to wychodzi \(\displaystyle{ \frac{-13}{4n+6}<0}\)
Dobrze teraz myślę?

[szw1710]

Motasz się.

Skorzystaj z udowodnionej monotoniczności.

[Balusiek]

Czy ja mam po prostu sprawdzić parę początkowych liczb ciągu, aby zobaczyć jak on będzie się zachowywał?
\(\displaystyle{ a_{1}= \frac{6}{5}}\)
\(\displaystyle{ a_{2}= \frac{11}{7}}\)
\(\displaystyle{ a_{3}= \frac{16}{9}}\)

[Kartezjusz]

Pokazanie ograniczoności nie zawsze oznacza znalezienia najmniejszego ograniczenia. Możesz szacować z góry przez bilion i wystarczy jak to oszacowanie pokażesz

[Balusiek]

Rozumiem co próbujesz mi powiedzieć, ale niestety nie mam pojęcia jak to pokazać.

[Kartezjusz]

Walnij liczbę z nieba i rozwiąż nierówność

[Balusiek]

Czyli biorę liczbę 20 i rozwiązuję tą nierówność (\(\displaystyle{ \frac{5n+1}{2n+3}<20}\)), tak ?
Po przeniesieniu na drugą stronę i rozwiązaniu wyjdzie mi coś na kształt funkcji kwadratowej. Wyjdzie dla jakiego n jest większe od zera, a dla jakiego n jest mniejsze od zera.

[Kartezjusz]

Kwadratowa nie, rozwiąż nierówność

[Balusiek]

\(\displaystyle{ \frac{5n+1}{2n+3}-20<0}\)
\(\displaystyle{ \frac{5n+1-40n-60}{2n+3}<0}\)
\(\displaystyle{ (35n-59)(2n+3)<0}\) no i wiadomo, że n należy do naturalnych
czyli n należy (0,59/35)