Zbieżność szeregu zespolonego

[damS]

\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{\tg^2n + i \cos n\pi}{n}}\)

Warunek konieczny zbiezności szeregu jest spełniony. Jak należy postępować dalej ?

[Premislav]

Z góry przepraszam za ten spam, ale czy mógłbyś pokazać, jak udowodnić, że warunek konieczny zbieżności tego szeregu jest spełniony? Moja intuicja mówi, że liczby naturalne mogą być dość blisko liczb postaci \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}+k\pi}\) dla \(\displaystyle{ k}\) naturalnych, co sugerowałoby, że ten warunek konieczny może nie być spełniony, bo tangens, ale moja intuicja jest tak słaba, że nawet przez jakiś czas miałem problem z załapaniem pojęcia NWD w podstawówce, więc to raczej żaden argument.

Przepraszam za swoją głupotę.

[a4karo]

nie jest spełniony, choc dowod chyba nie jest natychmiastowy (ciąg \(\displaystyle{ x_n=n \mod \pi/2}\) jest równomiernie rozłożony w odcinku \(\displaystyle{ (0,\pi/2)}\))

[jarek4700]

Czy prawidłowe jest takie rozumowanie:

Długość przedziału dla którego mamy \(\displaystyle{ \tg^{2}x<1}\) jest równa \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\).
Zatem wśród dowolnych trzech kolejnych liczb naturalnych znajdziemy taką, że \(\displaystyle{ \tg^{2}n>1}\)


Z ciągu opisanego wzorem \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{\tg^{2}n}{n}}\) wybieramy podciąg \(\displaystyle{ (b_{n})}\) na zasadzie takiej, że wyraz ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})}\) należy do \(\displaystyle{ (b_{n})}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ a_{n} > \frac{1}{n}}\). W przeciwnym wypadku dany wyraz ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})}\) należy do \(\displaystyle{ (c_{n})}\). Wtedy \(\displaystyle{ b_{1} > 1}\) i na podstawie wcześniejszych rozważań \(\displaystyle{ b_{n} > \frac{1}{3n-2}}\).

Ponieważ zaś \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}}\) jest rozbieżny to także \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}}\) jest rozbieżny (jego suma nie może być mniejsza, bo wyrazy \(\displaystyle{ (c_{n})}\) są dodatnie).

[a4karo]

Tak, ten argument jest OK (choć wymaga dopracowania szczegółów)