Suma szeregu liczbowego

[calmosc]

Cześć, jak wyznaczyć sumę takiego szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)} }}\) ?
Gdyby nie ten pierwiastek, to bym sobie poradził rozkładając to wyrażenie na sumę ułamków prostych, a potem różnicę szeregów, no ale w tym przypadku nie bardzo wiem jak to ugryźć. Nadal można to jakoś rozłożyć czy już lepiej korzystać z innej metody? Z góry dzięki za każdą odpowiedź, pozdrawiam.

Edit: Korzystając z okazji zapytam o coś innego: jak wyznaczyć taką granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left(\frac{3}{ \sqrt[3]{7n ^{6}} +1} + \frac{6}{ \sqrt[3]{7n ^{6}} +2}+\frac{9}{ \sqrt[3]{7n ^{6}} +3}+...+\frac{3n}{ \sqrt[3]{7n ^{6}} +n}} \right)}\)
Właściwie to zastanawia mnie bardziej to, czy można się obyć tutaj bez tw. o trzech ciągach.

Edit 2: Przepraszam, dopiero zobaczyłem, że pomyliłem działy, choć 2. zadanie jest z granic i już sam nie wiem, co z tym zrobić.

[Premislav]

Dlaczego twierdzisz, że ten szereg jest rozbieżny? Asymptotyczne kryterium porównawcze z wyrazami szeregu \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{n^{2}}}\) daje zbieżność. Ale sumy policzyć nie umiem.-- 8 lis 2015, o 00:22 --A tej granicy bez twierdzenia o trzech ciągach nie umiem wyznaczyć.

[calmosc]

Faktycznie, zapomniałem że kryterium d'Alemberta tego przypadku nie rozstrzyga, a co z sumą takiego szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt{n(n+1)(n+2)} }}\) ?

[Premislav]

Ten szereg tez jest zbieżny i też nie wiem, jak policzyć jego sumę.
Dostałeś to jako zadania, czy po prostu byłeś ciekawy, czy istnieje jakaś ładna metoda policzenia tego?
W Rachunku różniczkowym i całkowym Fichtenholza były liczone jakieś dziwne sumy szeregów, ale nie wgłębiałem się w to za bardzo.-- 8 lis 2015, o 00:40 --Właściwie to fajnie wyglądają moje wypowiedzi w tym temacie: nie wiem, nie wiem, nie wiem. Dam sobie spokój.

[calmosc]

Zadanie odnosiło się do powyższego szeregu (w 1. poście dodałem (n+3) dla urozmaicenia(?)), ale nakazywało jedynie zbadać jego zbieżność, a mnie właśnie ciekawiła jego suma, bo to trochę tak, jakby pytać, czy równanie ma pierwiastki, nie wyznaczając ich.