Przeliczalna rodzina różnyc podzbiorów przeliczalnej rodziny

[lelel555]

Hipoteza jest taka:

Dany jest zbiór \(\displaystyle{ X}\) oraz przeliczalna rodzina podzbiorów \(\displaystyle{ \mathcal{B} \subset 2^X}\).
NIech rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) będzie taka, że
\(\displaystyle{ \qquad \qquad \mathcal{A} = \left\{ A \subset B : B \in \mathcal{B} \right\} \quad \wedge \quad \forall x,y \in A \quad x\neq y \Rightarrow x \cap y = \emptyset}\)
Czy dla dowolnej (ale przeliczalnej) \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) istnieje zawsze przeliczalna rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) spełniająca te warunki?

[matmatmm]

Raczej nie. Niech \(\displaystyle{ X=\NN}\) oraz \(\displaystyle{ \mathcal{B}=\{\{1,2\}\}}\). Wówczas \(\displaystyle{ \mathcal{A}=2^{\{1,2\}}}\) i widać, że nie spełnia drugiego warunku.

[lelel555]

Ale \(\displaystyle{ \mathcal{B}=\left\{ \left\{ 1,2\right\} \right\}}\) nie jest przeliczalną rodziną.
Ważne, żeby one były nieskończone, a nie co najwyżej przeliczalne

[matmatmm]

No to niech \(\displaystyle{ X=\NN , B=\{\{1,\ldots,n\}:n\in\NN\}}\). Wówczas

\(\displaystyle{ \mathcal{A}=\{A\subset \{1,\ldots,n\}:n\in\NN\}=\bigcup_{n\in\NN}2^{\{1,\ldots,n\}}}\)

W szczególności \(\displaystyle{ \{1\}\in \mathcal{A}, \{1,2\}\in\mathcal{A}}\) oraz \(\displaystyle{ \{1\}\cap\{1,2\}=\{1\}\neq\emptyset}\).

[Jan Kraszewski]

Dany jest zbiór \(\displaystyle{ X}\) oraz przeliczalna rodzina podzbiorów \(\displaystyle{ \mathcal{B} \subset 2^X}\).
NIech rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) będzie taka, że
\(\displaystyle{ \qquad \qquad \mathcal{A} = \left\{ A \subset B : B \in \mathcal{B} \right\} \quad \wedge \quad \forall x,y \in A \quad x\neq y \Rightarrow x \cap y = \emptyset}\)

Jak dla mnie to zbiór \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) jest źle zdefiniowany.

JK

[matmatmm]

Ja rozumiem ten zbiór jako \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\{A\subset X: \bigvee_{B\in\mathcal{B}} A\subset B\}}\)

[Jan Kraszewski]

Kto wie, może o to chodzi, choć warunek \(\displaystyle{ \forall x,y \in A \quad x\neq y \Rightarrow x \cap y = \emptyset}\) w tym kontekście nie ma sensu. Jego też można poprawić, ale w końcu jak zadaje się pytanie, to powinno być ono zadane porządnie.

JK

[lelel555]

ups, tam popełniłem błąd przy \(\displaystyle{ x,y}\). I nie tylko tam.
Powinno być
\(\displaystyle{ \mathcal{A} = \left\{ A : \exists B \in \mathcal{B} \quad A \subset B \right\}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \forall x,y \in \mathcal{A}\quad x\neq y \Rightarrow x\cap y = \emptyset}\)

Przepraszam za zamieszanie związane z błędami.

[matmatmm]

W takim razie mój przykład chyba odpowiada na twoje pytanie.

[Jan Kraszewski]

Powinno być
\(\displaystyle{ \mathcal{A} = \left\{ A : \exists B \in \mathcal{B} \quad A \subset B \right\}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \forall x,y \in \mathcal{A}\quad x\neq y \Rightarrow x\cap y = \emptyset}\)

To jest dalej źle, ale z innego powodu. Otóż pisząc

\(\displaystyle{ \mathcal{A} = \left\{ A : \exists B \in \mathcal{B} \quad A \subset B \right\}}\)

definiujesz konkretną rodzinę zbiorów (domykasz rodzinę \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) na podzbiory) i wtedy napisanie warunku

\(\displaystyle{ \forall x,y \in \mathcal{A}\quad x\neq y \Rightarrow x\cap y = \emptyset}\)

nie ma sensu, bo tak zdefiniowana rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) oczywiście tego warunku nie spełnia.

Można się domyślić, o co Ci chodziło - chciałeś wziąć rodzinę pewnych podzbiorów zbiorów z \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) (a nie rodzinę wszystkich takich podzbiorów, jak zrobiłeś) i wymagać od nich, by były parami rozłączne. Ale wtedy trzeba inaczej sformułować zadanie:

"Niech \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) będzie rodziną zbiorów taką, że \(\displaystyle{ \mathcal{A} \red{\subseteq} \left\{ A : \exists B \in \mathcal{B} \quad A \subset B \right\}}\) i \(\displaystyle{ \forall x,y \in \mathcal{A}\quad x\neq y \Rightarrow x\cap y = \emptyset}\). Itd..."

JK

[lelel555]

Tak, to o to mi chodziło.

Przy czym nie możemy nic zakładać o \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) ani \(\displaystyle{ X}\). O nich wiemy tylko tyle, że są przeliczalne (nieskończone).

więc

No to niech \(\displaystyle{ X=\NN , B=\{\{1,\ldots,n\}:n\in\NN\}}\). Wówczas

\(\displaystyle{ \mathcal{A}=\{A\subset \{1,\ldots,n\}:n\in\NN\}=\bigcup_{n\in\NN}2^{\{1,\ldots,n\}}}\)

W szczególności \(\displaystyle{ \{1\}\in \mathcal{A}, \{1,2\}\in\mathcal{A}}\) oraz \(\displaystyle{ \{1\}\cap\{1,2\}=\{1\}\neq\emptyset}\).

nie działa z dwóch powodów:
1. \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) nie jest dowolna
2. \(\displaystyle{ \forall x,y \in \mathcal{A} \quad x\cap y = \emptyset}\) a ich przecięcie było niepuste.

[Jan Kraszewski]

Na marginesie, zapis

\(\displaystyle{ \mathcal{A}=\{A\subset \{1,\ldots,n\}:n\in\NN\}}\)

jest mocno niepoprawny. Natomiast zastrzeżenie

2. \(\displaystyle{ \forall x,y \in \mathcal{A} \quad x\cap y = \emptyset}\) a ich przecięcie było niepuste.

jest podwójnie nie na miejscu. Po pierwsze, nie jest prawdą, że dowolne dwa zbiory z tego \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) są rozłączne, po drugie, zupełnie nie wiadomo, czego miałoby dotyczyć stwierdzenie "a ich przecięcie było niepuste".

Tu zupełnie wystarcza zastrzeżenie pierwsze.

Proponuję więcej staranności w formułowaniu pytań i odpowiedzi. A odpowiedź jest pozytywna, taka rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) zawsze istnieje. Rozwiązanie można znaleźć np. w mojej książce "Wstęp do matematyki", zad. 17 w rozdziale 8, rozwiązania są pod koniec książki (to nie jest kryptoreklama, po prostu wiem, że to tam jest...).

JK