Zbieżność szeregu zespolonego

[damS]

\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{e^\frac{in\pi}{ 2} }{n^2}}\)

Jak postępować z takim szeregiem ?

[miodzio1988]

Ze wzoru Eulera skorzystaj

[damS]

Wychodzi że jest zbieżny bezwzględnie.

Teraz mamy taki szereg, kolejny:

\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{e^\frac{i\pi}{ n} }{n}}\)

Wartość bezwzględna z tego szeregu jest rozbieżna, więc pozostaje nam policzyć czy ten szereg jest rozbiezny lub zbieżny warunkowo. Problem z tym że nie wiem jak postępować, z czego dokładnie skorzystać?

[Premislav]

Mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } e^{ \frac{i\pi}{n} }=1}\), więc zbieżność wydaje się dość wątpliwa, więc ja bym postulował rozbieżność tego czegoś, a najlepiej to znów rozpisać z Eulera, po czym badać część rzeczywista i urojoną, a następnie zauważyć nierówność \(\displaystyle{ \cos x \ge 1-x}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\).

[damS]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n=\frac{\cos \pi n}{n} =0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } b_n=\frac{i\sin \pi n}{n}=0}\)

Więc mamy dwa przypadki, w których granice zbiegają do zera co wskazuje na to że szereg jest zbieżny, ale coś tu nie pasuje. Gdzie popełniam błędy ?


Edit: Błąd w zapisie licznika wyrazu ogólnego

[Premislav]

Sprawdzasz warunek konieczny zbieżności, ale on nie jest warunkiem dostatecznym.

Żeby pokazać, że szereg ten nie jest zbieżny, możesz np. pokazać, że szereg części rzeczywistych, tj.
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{\cos \frac{\pi}{n} }{n}}\) jest rozbieżny, a to można uzyskać z kryterium porównawczego i nierówności, o której poprzednio pisałem.