rozwiąż nierówność z pierwiastkiem.

[bolek155]

\(\displaystyle{ x \le \sqrt{4-x^{2}}}\)

[Lbubsazob]

Podnieś obustronnie do kwadratu i nie zapomnij o dziedzinie.

[bolek155]

Próbowałem tak ale nie wychodzi.

[Lbubsazob]

A masz jakąś odpowiedź czy coś? Mi wychodzi \(\displaystyle{ x \in \left<-\sqrt2, \sqrt2\right>}\).

[bolek155]

\(\displaystyle{ \left<-2, \sqrt2 \right>}\)

[Lbubsazob]

Z tego \(\displaystyle{ x \le \sqrt{4-x^{2}}}\) po podniesieniu do kwadratu mamy
\(\displaystyle{ x^2\le 4-x^2 \\
x^2 \le 2 \\
x\in \left<-\sqrt2, \sqrt2 \right>}\)

A dziedzina to \(\displaystyle{ 4-x^2\ge 0}\), czyli \(\displaystyle{ x\in \left< -2,2\right>}\).
Część wspólna to \(\displaystyle{ x\in \left<-\sqrt2, \sqrt2\right>}\).

[killermannnnn]

Dlaczego po podstawieniu do tego równania wartości z przedziału \(\displaystyle{ <-2, -\sqrt2 \right >}\) wychodzi dobry wynik? W takim razie rozwiązanie w poście wyżej jest błędne

[piasek101]

Trzeba zauważyć (tego zabrakło), że gdy lewa strona jest ujemna (w dziedzinie) to nierówność jest spełniona.

[killermannnnn]

A jak to zapisac, żeby było poprawnie matematycznie?

[piasek101]

Gdy \(\displaystyle{ x\in ...}\) nierówność jest spełniona i dołożyć to (bo suma) z tym co wyjdzie z podniesienia do kwadratu.

[Dilectus]

Rysunek rozstrzyga wątpliwości, więc narysujcie funkcje

\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{4-x^2}}\)

\(\displaystyle{ g(x)=x}\)

i popatrzcie, gdzie \(\displaystyle{ g(x) \le f(x)}\)

[Lbubsazob]

Moje rozwiązanie wyżej nie jest poprawne, bo nie można tak sobie podnieść do kwadratu nierówności, nie wiedząc nic o \(\displaystyle{ x}\). Jeżeli \(\displaystyle{ x}\) jest dodatnie, to wtedy podnosimy do kwadratu. Natomiast jeżeli \(\displaystyle{ x}\) jest ujemne, to mamy dokładnie to, o czym mówił piasek101 - liczba ujemna jest na pewno mniejsza od pierwiastka, który z założenia jest większy bądź równy zero.
Rozwiązanie tego graficznie też jest dobrym pomysłem, bo z wykresu od razu widać.