Znajdz wszystkie pary liczb.

[Presage6]

Treść : Znajdz wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich a,b dla ktorych spelniony jest warunek :
\(\displaystyle{ 20a^{2}}\) + \(\displaystyle{ 10b^{2}}\) = 2010

Próbowałem się za to zabrać...
a,b \(\displaystyle{ \in}\) |Z \(\displaystyle{ \wedge}\) a,b > 0

Podzieliłem wszystko przez 10, co sie wydawało dosyć oczywiste.
\(\displaystyle{ 2a^{2}}\) + \(\displaystyle{ b^{2}}\) = 201
Starałem się z tego wyznaczyć b, ale coś nie wychodzi... Takze zwracam się z serdeczną prośbą do Was, zeby pomóc mi z tym zadaniem

[liu]

Po pierwsze widać, że \(\displaystyle{ b}\) jest liczbą nieparzystą (dlaczego?).
Po drugie, \(\displaystyle{ a \leq 10}\) (dlaczego?).
Dalej już wystarczy odrobina arytmetyki, nawet bez wielkiego sprytu uda się zrobić to sprawnie.

[Presage6]

b nieparzyste, ponieważ suma wyrażenia jest liczbą nieparzystą, a \(\displaystyle{ 2a^{2}}\) jest zawsze liczba parzysta ? o to chodzi ?
a \(\displaystyle{ \le}\) 10, ponieważ dla a > 10, otrzymujemy \(\displaystyle{ b^{2}}\) = liczba ujemna, co jest sprzecznoscia.
Czy masz namysli, metode prób i błedow, czy istnieje jakieś proste rozumowanie, ktore doprowadzi do wszystkich mozliwych wyników ?
Mogłbys mi z tym bardziej pomóc ?

[liu]

Fakt: \(\displaystyle{ 201}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\)

Niewiele tutaj już tak naprawdę się uprości, ale żeby odrzucić trochę przypadków proponuję zbadać reszty modulo 3 lewej strony równania:
Kwadraty liczb naturalnych dają reszty \(\displaystyle{ 0, 1}\) modulo 3.
Stąd, jeśli \(\displaystyle{ (a,b)}\) jest rozwiązaniem równania, to zachodzą następujące możliwości dla reszt modulo 3, przy których równanie może mieć rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 2a^2}\) daje \(\displaystyle{ 0}\), \(\displaystyle{ b^2}\) daje 0
\(\displaystyle{ 2a^2}\) daje \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ b^2}\) daje 1

Ogranicza to trochę brute-force.