rząd ciała, a jego charakterystyka

[kajbon]

Witam, chciałbym zapytać czy istnieje ciało, którego charakterystyka nie dzieli liczby jego elementów? A jeśli istnieje to prosił bym o przykład.
Z góry dziękuję za odpowiedź

[liu]

Zakładam, że jakoś się umówiliśmy co do tego, jakie liczby dzielą rząd ciała nieskończonego;)

Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie ciałem skończonym charakterystyki \(\displaystyle{ p>0}\). Wówczas \(\displaystyle{ K}\) jest przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ GF(p)}\) (ciało skończone o \(\displaystyle{ p}\) elementach, czyli reszty modulo \(\displaystyle{ p}\)) z działaniem mnożenia przez skalar określonym przez \(\displaystyle{ ax = x + x + \ldots +x}\) (suma \(\displaystyle{ a}\) elementów) dla \(\displaystyle{ a\in GF(p), x\in K}\). Zatem \(\displaystyle{ K}\) (traktowane jako przestrzeń liniowa) ma bazę złożoną z pewnej liczby elementów \(\displaystyle{ x_1,\ldots, x_r\in K}\). Ponieważ z algebry liniowej wiadomo, że każdy element \(\displaystyle{ x\in K}\) można jednoznacznie zapisać w postaci \(\displaystyle{ x = a_1 x_1 + \cdots + a_r x_r}\), gdzie \(\displaystyle{ a_i \in GF(p)}\), to liczba elementów ciała \(\displaystyle{ K}\) wynosi \(\displaystyle{ p^r}\).

Jako ćwiczenie możesz wykazać, że \(\displaystyle{ r = [K:GF(p)]}\) (stopień rozszerzenia).

[kajbon]

a mogę tak o:
ciało jest grupą ze względu na samo dodawanie, ponieważ charakterystyka ciała jest równa rzędowi jedynki ze względu na dodawanie to z twierdzenia Lagrange'a wynika, że rząd jedynki dzieli rząd grupy czyli również ciała?

[liu]

Tak, na pierwszy rzut oka wygląda całkiem elegancko.