Udowodnij równość metodą indukcji

[Milena233]

Witam

Mam udowodnić metodą indukcji równość \(\displaystyle{ 1^3+2^3+...+n^3= \left( 1+2+...+n \right) ^2}\).
Zaczęłam to robić tak jak poniżej i niestety nie wiem co dalej.

\(\displaystyle{ L \left( n \right) =1^3+2^3+...+n^3 \\ P \left( n \right) = \left( 1+2+...+n \right) ^2}\)

1) \(\displaystyle{ L \left( 1 \right) =1^3=1}\)
\(\displaystyle{ P \left( 1 \right) =1^2=1}\)

2) Zakładamy, że dla pewnego ustalonego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ L \left( n \right) =P \left( n \right)}\).

3) Udowodnimy, że \(\displaystyle{ L \left( n+1 \right) =P \left( n+1 \right)}\).

\(\displaystyle{ \mathrm{ \ \ \ }L \left( n+1 \right) =1^3+2^3+...+n^3+ \left( n+1 \right) ^3=P \left( n \right) + \left( n+1 \right) ^3= \left( 1+2+...+n \right) ^2+ \left( n+1 \right) ^3}\)

\(\displaystyle{ \mathrm{ \ \ \ }P \left( n+1 \right) = \left[ 1+2+...+n+ \left( n+1 \right) \right] ^2= \\ \\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }= \left( 1+2+...+n \right) ^2+2 \left( 1+2+...+n \right) \left( n+1 \right) + \left( n+1 \right) ^2= \\ \\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } = \left( 1+2+...+n \right) ^2+ \left( n+1 \right) ^3 \left[ \frac{2 \left( 1+2+...+n \right) }{ \left( n+1 \right) ^2}+\frac{1}{n+1} \right] = \\ \\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } = \left( 1+2+...+n \right) ^2+ \left( n+1 \right) ^3 \left[ \frac{2 \left( 1+2+...+n \right) + \left( n+1 \right) }{ \left( n+1 \right) ^2} \right]}\)

Proszę o pomoc

[szw1710]

Sądzę, że będzie prościej rachować, jeśli zapiszesz \(\displaystyle{ 1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}}\) i ewentualnie udowodnisz ten wzór.

[Chewbacca97]

Masz udowodnić, że \(\displaystyle{ L(n+1)=P(n+1)}\), czyli:

\(\displaystyle{ 1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3 = [1+2+...+n+(n+1)]^2}\)

Korzystając ze wskazówki pana szw1710 wygląda to tak:

\(\displaystyle{ \left( \frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + (n+1)^3 = \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2}\)

Potem wzór na różnicę kwadratów i chyba po sprawie.