Parametr a

[dorotaaaa93]

Dla jakich wartości parametru a równanie\(\displaystyle{ \frac{x^2+1}{a^2x-2a} - \frac{1}{2-ax} = \frac{x}{a}}\) ma dwa pierwiastki?

W odpowiedzi do tego zadania jest, że \(\displaystyle{ a \in R \setminus \left\{ -2, 0, 1 \right\}}\).
Proszę o pomoc, skąd ta \(\displaystyle{ -2}\) w odpowiedzi?

[musialmi]

Stąd, że jak ją wstawisz, to dostajesz równanie \(\displaystyle{ \frac 32 x^2+x-\frac 12=0}\), które ma dodatnią deltę.

[dorotaaaa93]

To chyba dobrze jest jak delta jest dodatnia, bo są wtedy dwa pierwiastki.-- 29 paź 2015, o 11:19 --Wydaje mi się, że wzięło się to z założenia \(\displaystyle{ 2-ax \neq 0}\), ale nie wiem jak do tego dojść.

[Zahion]

Bierze się stąd, że \(\displaystyle{ \frac{2}{a} \neq x}\)
Mamy funkcję \(\displaystyle{ f\left( x\right) = \left( 1-a\right)x^{2} + 2x + a + 1}\). Delta jest dodatnia dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\) i musi być \(\displaystyle{ a \neq 1}\). Brakuje warunku \(\displaystyle{ f\left( \frac{2}{a} \right) \neq 0}\). Jeżeli dla jakiegoś \(\displaystyle{ a}\) zajdzie ta równość, to będzie ją trzeba wykluczyć z rozwiązania, ponieważ mamy dziedzinę ustaloną wcześniej i wtedy zamiast dwóch rozwiązań dostaniemy jedno, ponieważ to drugie będzie trzeba wykluczyć.

musialmi, dorotaaaa93,
delta będzie dodatnia, ale jeden z pierwiastków, który wyjdzie przy tej delcie, w połączeniu z \(\displaystyle{ a = - 2}\) da nam \(\displaystyle{ ax = 2}\), czyli wyjściowo w mianowniku zero.