Kłopotliwa granica

[Ballazzo]

Mam problem z rozwiązaniem tej granicy:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \lg 2^{ \sqrt{\ln(n)} } - \lg( \sqrt{n)}}\)

lg to logarytm przy podstawie 2.

[jarek4700]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \lg 2^{\sqrt{\ln(n)}} - \lg(\sqrt{n}) = \lim_{n \to \infty}\lg\left(\frac{2^{\sqrt{\ln(n)}}}{\sqrt{n}}\right) = \lim_{n \to \infty}\lg\left(\frac{2^{\sqrt{ln(n)}}}{2^{\lg\sqrt{n}}}\right) = \lim_{n \to \infty}\lg \left(2^{\sqrt{\ln(n)}-\lg\sqrt{n}\right) = \lim_{n \to \infty}\sqrt{\ln(n)}-\lg\sqrt{n} = \lim_{n \to \infty}\sqrt{\ln(n)}-\frac{\ln n}{2\ln{2}} = \lim_{n \to \infty}\sqrt{\ln(n)}\left(1-\frac{\sqrt{\ln(n)}}{2\ln 2}\right) = \infty \cdot (-\infty) = -\infty}\)

[Ballazzo]

Mam problem z kolejną podobną granicą


\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \lg 2^{ \sqrt{\ln(n)} } - \lg\lg n}}\)

Robiłem podobnie jak kolega wyżej pokazał, ale odszedłem do:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt{\ln(n)} - \lg\lg n}\)

i dalej nie wiem co z tym zrobić.

[a4karo]

\(\displaystyle{ t=\lg n}\)

[Ballazzo]

Tak zoribłę mjuż pdostawienie, i zmieniłem podstawy \(\displaystyle{ \ln(n)}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{t}{\lg(e)} } -\lg(t)}\)

Co dalej? Wyjęcie \(\displaystyle{ \lg(t)}\) nic nie daje.

[jarek4700]

Możesz skorzystać z tego, że od pewnego momentu musi zachodzić \(\displaystyle{ \lg(t) < \sqrt{t}}\)
Można to pokazać np. tak:
\(\displaystyle{ u = \sqrt{t}}\)
\(\displaystyle{ 2\lg u < u}\)
\(\displaystyle{ \lg u < \frac{u}{2}}\)

A to można już np. graficznie zauważyć że od pewnego momentu tak jest. Chyba, że umiesz pochodne to możesz to na pochodnych pokazać.

I teraz \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{t}{\lg e}} - \lg(t) > \sqrt{\frac{t}{\lg e}} - \sqrt{t}}\)
Jeśli prawa strona ucieka do nieskończoności to lewa też musi.


Edit: sorry, ale to jeszcze nie do końca jest ok. Bo prawa strona nie ucieka do nieskończoności (tylko do minus nieskończoności).
Aby uciekała do nieskończoności powinna wyglądać np. tak: \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{t}{\lg e}} - \sqrt{\frac{t}{2}}}\)

Na szczęście można analogicznie pokazać że od pewnego momentu \(\displaystyle{ \lg(t) < \sqrt{\frac{t}{2}}}\)