Układ równań z trzema niewiadomymi (konkurs Marszała)

[tangerine11]

Dziś na konkursie miałam do rozwiązania następujący układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{3}+y^{3}+z^{3}=1 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1 \\ x+y+z = 1 \end{cases}}\)

Kompletnie nie wiem jak się do tego zabrać, żeby się nie zagrzebać w obliczeniach... Pomoże ktoś?

Btw jestem tu nowa i nie udało mi się zrobić potęg, jeżeli ktoś byłby łaskaw wyjaśnić jak zrobić indeks górny to będę wdzięczna.

[Premislav]

Zapisałaś w miarę OK, tylko jeszcze trzeba by dodać klamry

Kod: Zaznacz cały

[tex][/tex]

, a jeszcze lepiej zrobić układ równań, odpowiedni przycisk masz po lewej od okna szybkiej odpowiedzi. Jest na tej stronie instrukcja \(\displaystyle{ \LaTeX}\)a, więc skoro startujesz w konkursach (nawet regionalnych), to powinnaś sobie dać z tym radę.
Co do rozwiązania: racz zauważyć, że skoro \(\displaystyle{ x+y+z=1}\), to \(\displaystyle{ (x+y+z)^{2}=1}\), a odejmując od tego równość \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}\), dostajesz wniosek, że \(\displaystyle{ xy+xz+yz=0}\). Tymczasem jest \(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)+3xyz}\) i wstawiając do tej ostatniej tożsamości \(\displaystyle{ x+y+z=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}\)
oraz \(\displaystyle{ xy+yz+xz=0}\), dostajesz wniosek, że \(\displaystyle{ 3xyz=0}\), czyli co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\) jest zerem. Zauważmy, że ten układ równań jest symetryczny ze względu na zmienne \(\displaystyle{ x,y,z}\), więc rozważmy tylko \(\displaystyle{ x=0}\). Wtedy skoro \(\displaystyle{ xy+xz+yz=0}\), to również \(\displaystyle{ y=0}\) lub \(\displaystyle{ z=0}\), dla ustalenia uwagi \(\displaystyle{ y=0}\). Wtedy skoro \(\displaystyle{ x+y+z=1}\), to musi być \(\displaystyle{ z=1}\). Stąd otrzymujesz takie rozwiązania:
\(\displaystyle{ (x=0 \wedge y=0 \wedge z=1) \vee (x=0\wedge y=1\wedge z=0) \vee (x=1\wedge y=0\wedge z=0)}\). Łatwo się przekonać, że istotnie są one rozwiązaniami układu.

[mol_ksiazkowy]

albo też z tego , że \(\displaystyle{ xy= z^2- z}\) i z \(\displaystyle{ 1- z^3=}\) itd.
tj. Jeśli \(\displaystyle{ z \neq 1}\) to \(\displaystyle{ \frac{1-z^3}{1-z} = \frac{x^3+y^3}{x+y} =x^2 - xy +y^2 = 1-z^2 - (z^2- z)}\)
tj. \(\displaystyle{ z=0}\)

[AndrzejK]

Niech \(\displaystyle{ x,y,z}\) będą pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^3-ax^2+bx-c=0}\). Ze wzorów Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia dostajemy:
\(\displaystyle{ x+y+z=a \\
xy+yz+xz=b \\
xyz=c}\)

Z pierwszego równania dostajemy \(\displaystyle{ a=-1}\).
\(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 - 2(xy + yz + xz)=a^2-2b=1-2b=1}\), skąd \(\displaystyle{ b=0}\).
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ x^3 = ax^2 - bx + c \\
y^3 = ay^2 - by + c \\
z^3 = az^2 - bz + c}\)
Skąd \(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3=a(x^2+y^2+z^2)-b(x+y+z)+3c=a-b+3c=1+3c=1}\), skąd \(\displaystyle{ c=0}\). Stąd rozwiązaniem równania są pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ x^3-x^2=0}\). Są to zatem następujące trójki: \(\displaystyle{ (x,y,z)=\left\{ (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1) \right\}}\).

[VereX]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{3}+y^{3}+z^{3}=1 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1 \\ x+y+z = 1 \end{cases}}\)

Z układu równań można wydedukować:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2} - x - y - z = 0\\
x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) = 0;}\)
Co nam daje możliwe rozwiązania
\(\displaystyle{ (x,y,z) \rightarrow (0,0,0)\ (0,0,1)\ (0,1,1)\ (1,1,1)\ (0,1,0)\ (1,1,0)\ (1,0,0)}\)
Podstawiamy rozwiązania do \(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}+z^{3}=1}\)

Ostatecznie \(\displaystyle{ (x,y,z) = (0,0,1), (x,y,z) = (0,1,0), (x,y,z) = (1,0,0).}\)

[bakala12]

Z układu równań można wydedukować:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2} - x - y - z = 0\\
x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) = 0;}\)
Co nam daje możliwe rozwiązania
\(\displaystyle{ (x,y,z) \rightarrow (0,0,0)\ (0,0,1)\ (0,1,1)\ (1,1,1)\ (0,1,0)\ (1,1,0)\ (1,0,0)}\)
Podstawiamy rozwiązania do \(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}+z^{3}=1}\)

Ostatecznie \(\displaystyle{ (x,y,z) = (0,0,1), (x,y,z) = (0,1,0), (x,y,z) = (1,0,0).}\)

Bzdury. Te wnioski są błędne.

[Premislav]

Patrzę i podziwiam sobie ładne rozwiązanie usera AndrzejK, ale tak mnie naszło, czy nie można tego zrobić jeszcze prościej.
Skoro \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=1}\), to liczby \(\displaystyle{ x,y,z}\) należą do przedziału \(\displaystyle{ [-1,1]}\).
Ale dla wszystkich \(\displaystyle{ a \in \RR}\) takich, że \(\displaystyle{ |a| \le 1}\) mamy
\(\displaystyle{ a^3 \le a^2}\), bo równoważnie: \(\displaystyle{ a^2(1-a) \ge 0}\), co z uwagi na nieujemność czynników kończy dowód. Równość dla \(\displaystyle{ a=0 \vee a=1}\).
Zatem skoro \(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3=x^2+y^2+z^2=1}\), to \(\displaystyle{ x^3=x^2 \wedge y^3=y^2 \wedge z^3=z^2}\) i wszystkie te liczby są zerami lub jedynkami.
Z równości \(\displaystyle{ x+y+z=1}\) wnioskujemy, że dokładnie jedna jest jedynką, a pozostałe to zera.

Jestem do bani z matmy, więc powiedzcie: ma to sens?

[bakala12]

Premislav, bardzo ładnie

[Premislav]

bakala12, dzięki za sprawdzenie.

[Sylwek]

Premislav, ładnie i nawet nie musisz pod koniec angażować w to równości \(\displaystyle{ x+y+z=1}\) (z twojego sposobu wynika, że to równanie jest nam zbędne).

[arek1357]

To ja dorzucę swoje trzy grosze:

\(\displaystyle{ A=1}\)

\(\displaystyle{ A^2-2B=1}\)

\(\displaystyle{ A^3-3AB+3C=1}\)

Z tego\(\displaystyle{ B=C=0}\)

z tego że\(\displaystyle{ C=0}\) wynika np. że: \(\displaystyle{ x=0}\)

z tego że\(\displaystyle{ x=0, i B=0}\) wynika np. ,że\(\displaystyle{ y=0}\)

a z tego , że \(\displaystyle{ x=0, y=0 i A=1}\) wynika, że \(\displaystyle{ z=1}\)

a że można na okrągło mamy w końcu:

\(\displaystyle{ (x,y,z)=(0,0,1)}\)

Nie będę tłumaczył co to \(\displaystyle{ A,B,C}\) bo obraziłbym tym swoich sławnych przedmówców.

Lecz jeśliby znalazł się ktoś kto by tego nie wiedział (w co absolutnie nie wierzę) niech dyskretnie kliknie na pw.

\(\displaystyle{ A=x+x+z}\)

\(\displaystyle{ B=xy+xz+yz}\)

\(\displaystyle{ C=xyz}\)

[a4karo]

A ja nie mam zamiaru zgadywać i poproszę o objaśnienie oznaczeń

[arek1357]

To wyjaśniłem...