Liczba niewymierna jako suma liczb wymiernych

[Jever]

Witam.
Czy liczba niewymierna może zostać wyrażona jako nieskończona suma liczb wymiernych?
Jeżeli temat jest w złym dziale, to przepraszam; ten pasował najbardziej.

[NogaWeza]

Tak.
\(\displaystyle{ \frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, ...}\) dąży do \(\displaystyle{ \sqrt2}\)
Mianownik następnego ułamka tworzy się przez dodanie licznika i mianownika poprzedniego ułamka. Natomiast licznik następnego ułamka tworzy się dodając licznik poprzedniego ułamka do jego mianownika pomnożonego przez 2.
Dlaczego ten granicą tego ciągu jest \(\displaystyle{ \sqrt2}\)? Tego już nie wiem, pytaj kogoś innego.

[AdamL]

Równoważnym pytaniem jest taka hipoteza - czy każda liczba niewymierna jest granicą pewnego ciągu liczb wymiernych? Otóż tak.
Weźmy \(\displaystyle{ x \in R\Q}\). Wówczas \(\displaystyle{ x}\) ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne. Weźmy ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) jako rozwinięcie dziesiętne \(\displaystyle{ x}\) obcięte do n miejsc po przecinku. Widać zatem, że \(\displaystyle{ \forall x_n : x_n \in Q}\) oraz \(\displaystyle{ x_n \rightarrow x}\)

Wszystko zrozumiale?