Udowodnić tożsamość dotyczącą kresów

[martianho]

Proszę serdecznie o pomoc z niniejszym zadaniem:

Udowodnić, że dla każdego niepustego i ograniczonego zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR^+}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ \inf \left( \frac{1}{A} \right) = \frac{1}{\sup A}}\)
dla
\(\displaystyle{ \frac{1}{A} = \left\{ \frac{1}{a} : a \in A\right\}}\)

Przekształcam sobie prawą stronę i z definicji supremum dochodzę do:

dla wszystkich \(\displaystyle{ a \in A}\) zachodzi \(\displaystyle{ a \le s = \sup A \Leftrightarrow \frac{1}{a} \ge \frac{1}{s} = i}\)

i teraz:
1)Chcemy dojść do definicji infimum, czyli otrzymać: \(\displaystyle{ \frac{1}{a} \ge \frac{1}{s}}\), co się udaje zrobić w akapicie powyżej.
2)Chcemy również otrzymać, że dla wszystkich \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ a_{0} \in A}\), że \(\displaystyle{ \frac{1}{ a_{0} } - \epsilon < \frac{1}{s}}\), co dowiodłoby powyższej równości, więc przekształcam z definicji o supremum, dochodząc do:
\(\displaystyle{ a_{0} + \epsilon > s \Leftrightarrow \frac{1}{ a_{0} + \epsilon } < \frac{1}{s}}\) i tu zaczynają się schody, bo...utknąłem :/ Jakby ktoś pomógł, jak stąd wybrnąć, będę bardzo wdzięczny

[matmatmm]

2)Chcemy również otrzymać, że dla wszystkich \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ a_{0} \in A}\), że \(\displaystyle{ \frac{1}{ a_{0} } - \epsilon < \frac{1}{s}}\), co dowiodłoby powyższej równości,

Użyj definicji supremum zbioru \(\displaystyle{ A}\) dla \(\displaystyle{ \varepsilon_1=s-\frac{s}{s\varepsilon +1}}\).

[martianho]

Dziękuję bardzo Dzisiaj rano udało mi się dojść właśnie do tej postaci, przekształcając od tyłu to, co chciałem otrzymać, ale mimo wszystko dziękuję, utwierdziłeś w przekonaniu, że jest poprawnie!