złożenie funkcji , obraz funkcji

[be-girl222]

Niech \(\displaystyle{ f: \RR^2 \rightarrow \RR^2 , g: \RR^2 \rightarrow \RR}\) przy czym\(\displaystyle{ f(x,y)= (x+y, x-2y+3), g(x,y)= x-y}\). Utworzyć \(\displaystyle{ h=g(f(x,y))}\) oraz wyznaczyć \(\displaystyle{ h(A)}\), gdzie \(\displaystyle{ A = \left\{ (x,y) \in \RR^2; x^2+y^2 \le 1 \right\}}\) . Po złożeniu mam \(\displaystyle{ h=3y-3}\) i zupełnie nie wiem jak obliczyć \(\displaystyle{ h(A)}\), skoro w \(\displaystyle{ A}\) mam 2 zmienne \(\displaystyle{ (x,y)}\) a po złlożeniu funkcji zostało mi tylko \(\displaystyle{ y}\). Pomocy, proszę!

[Jan Kraszewski]

Normalnie, z definicji obrazu. Po prostu funkcja \(\displaystyle{ h}\) zależy tylko od jednej zmiennej, zastanów się zatem, jakie są drugie współrzędne par należących do \(\displaystyle{ A}\).

JK

PS. A na przyszłość pisz w \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-u wszystkie wzory, także te proste.

[be-girl222]

zupełnie nie wiem jak się ma ten zbiór A do funkcji h. Zbiór a bedzie kołem o promieniu 1, a moja funkcja h to prosta. Nie wiem czy to jest dobry sposób myślenia by wyznaczyć obraz, czy robi się to zupełnie w inny sposób. Definicja obrazu to \(\displaystyle{ y \in f(A) \Leftrightarrow \vee _x \in A : f(x)=y}\) .
Jest to pierwsze zadanie z obrazu funkcji jakie próbuję zrobić, dlatego może moje pytania mogą się wydawać śmieszne. Z góry dziękuję za wyrozumiałość

[Fool]

\(\displaystyle{ h=3y-3}\)
Na moje rozeznanie \(\displaystyle{ x = 0}\), mamy pary \(\displaystyle{ \left( 0,y \right)}\).
Aby nierówność była spełniona \(\displaystyle{ y \in \left\langle -1,1 \right\rangle}\).
\(\displaystyle{ h \left( A \right) = \left\langle -6,0 \right\rangle}\)
Nie wiem czy dobrze, dopiero próbuję to skumać.

-- 23 paź 2010, o 20:04 --

Elementy zbioru \(\displaystyle{ A}\) podstawiasz do funkcji \(\displaystyle{ h}\), będącej złożeniem \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\).

[be-girl222]

tak, to jest książkowa odpowiedź więc jest dobra
aha , czyli za x mogę przyjąć 0, wtedy zadanko staje się łatwe. Dziękuję za pomoc, nie żegnam się, bo pewnie zaraz wynajdę kolejne zadanie którego nie ruszę bez pomocy

[Jan Kraszewski]

Po pierwsze, kwantyfikator szczegółowy to "igvee": \(\displaystyle{ \bigvee}\)

Po drugie, funkcja to nie prosta, funkcja to funkcja. W przypadku funkcji z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) wykres funkcji o wzorze \(\displaystyle{ h(y)=3y-3}\) jest prostą. Ty jednak masz funkcję \(\displaystyle{ h:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}}\), zadaną wzorem \(\displaystyle{ h(x,y)=3y-3}\).

Obraz zbioru \(\displaystyle{ A}\) to zbiór

\(\displaystyle{ h[A]=\{h(x,y):(x,y)\in A\}=\{3y-3:(x,y)\in\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2+y^2 \le 1 \right\}\}=\\
=\{3y-3:y\in[-1,1]\}=[-6,0]}\)

JK

[Fool]

IMO zadanie zrobiłoby się za bardzo skomplikowane gdyby \(\displaystyle{ x \neq 0}\), gdyż trudno byłoby jednoznacznie zadać przedział, do którego mogłyby należeć x i y.

[Jan Kraszewski]

Dlatego moje rozwiązanie jest nieco ogólniejsze. Ale w przypadku tej funkcji wystarczy określić przedział, do którego mogłoby należeć \(\displaystyle{ y}\).

JK

[cudzoziemka]

Witam,
Mam pytanie z jakiej książki jest rozwiązane zadnie?
Dziękuje i pozdrawiam.

[Jan Kraszewski]

Naprawdę myślisz, że po 5 latach ktoś to pamięta? I co to za różnica, z jakiej to książki - to typowe zadanie.

JK

[cudzoziemka]

Myślę, że jak ktoś sie zajmuje matematyką to mógłby pamiętać skąd jest to zadanie.
Ta wiedza jest mi najwyraźniej potrzeba.

[Jan Kraszewski]

OK, może ktoś pozna.

JK