Obrazy i przeciwobrazy funkcji - zadania

[pryk728]

Cześć! Mam problem z wyznaczeniem pewnych obrazów i przeciwobrazów funkcji części całkowitej.
Ogromnie bym prosił o jakieś drobne wyjaśnienie, chociaż przy przeciwobrazach.

Należy wyznaczyć obrazy i przeciwobrazy funkcji części całkowitej.

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \left[ 2x+\frac{1}{3} \right]}\)

Obrazy:
a) \(\displaystyle{ f \left( {-3,-1} \right)}\)
b)\(\displaystyle{ f \left( \left( -3,-1 \right] \right)}\)
c) \(\displaystyle{ f \left( \left( 2,4 \right) \cup {1} \right)}\)
d) \(\displaystyle{ f \left( \left( -\infty,2 \right] \right)}\)
e) \(\displaystyle{ f \left( \NN \right)}\)
f) \(\displaystyle{ f left( left( -2,0
ight] cup left[ 3,6
ight)
ight)}\)

Przeciwobrazy:
a) \(\displaystyle{ f^{-1} \left( {3,4,5} \right)}\)
b) \(\displaystyle{ f^{-1} \left( \left[ -1,3 \right] \right)}\)
c) \(\displaystyle{ f^{-1} \left( \NN \right)}\)
d) \(\displaystyle{ f^{-1} \left( \left( 3, +\infty \right) \left\{ 4,5} \right)}\)
e) \(\displaystyle{ f^{-1} left( left( -infty, 0
ight) cup left[ 5, infty
ight)
ight)}\)

[Premislav]

Pokaż, co sam zrobiłeś. Co do obrazów, najpierw patrzysz pan, jak funkcja liniowa \(\displaystyle{ g(x)=2x+ \frac{1}{3}}\) przekształca przedział z danego podpunktu (to chyba poziom trzeciej klasy gimnazjum, więc nie ma obaw), a potem zastanów się, jaką część całkowitą mogą mieć liczby ze zbioru będącego obrazem takiego przedzialiku przez \(\displaystyle{ g}\). Np. \(\displaystyle{ g(-3,-1)=\left(- \frac{17}{3} ,- \frac{5}{3} \right)}\) i mamy \(\displaystyle{ -6< -\frac{17}{3}<-5}\) oraz \(\displaystyle{ -2<-\frac{5}{3}<-1}\). Korzystam tu z tego, że \(\displaystyle{ h\circ g(x)=h(g(x))}\) i takoż będzie z obrazami przekształceń (kółeczko to złożenie funkcji; tu masz złożenie funkcji afinicznej z funkcją część całkowita, czy tam podłoga).
Co do przeciwobrazów, jest to w tym konkretnym przypadku trudniejsze, nie umiem tego zrobić, na szczęście swego czasu pan Kraszewski dał łatwy egzamin i można było iść na piwko, a nie się przeciwobrazami przejmować. Aha, w (d) w podpunktach z przeciwobrazami masz błędny zapis.
A tak na serio (no dobra, to wyżej było na serio, ale cii), zauważ, że \(\displaystyle{ g(x)=2x+ \frac{1}{3}}\) jest ciągłym i monotonicznym przekształceniem prostej rzeczywistej w siebie. Dzięki temu np. w podpunkcie (a) z przeciwobrazami wystarczy Ci odpowiedzieć sobie na pytanie, dla jakich to \(\displaystyle{ x}\) rzeczywistych mamy \(\displaystyle{ 2x+ \frac{1}{3} \ge 3}\) i \(\displaystyle{ 2x+ \frac{1}{3} \le 5}\)