Ciąg zbiorów

[ad0803]

Rozważmy ciąg zbiorów \(\displaystyle{ (A_n)_{n \in \mathbb{N}}}\). Załóżmy, że istnieje \(\displaystyle{ \lim_{n} A_n = A}\). Pokazać, że istnieje również granica podciągu tego ciągu, przy czym \(\displaystyle{ \lim_{k} A_{n_k} =A}\).

[Premislav]

Wskazówka: granica górna równa granicy dolnej.
No i jakaś tam zabawa z zawieraniami, granica dolna podciągu to nie mniej niż granica dolna ciągu i granica górna podciągu to nie więcej niż granica górna ciągu (to warto pokazać).-- 11 paź 2015, o 12:28 --Aha, oczywiście nie mniej i nie więcej w sensie słabego zawierania, bo to może myląco brzmieć.

[ad0803]

A podałbyś jakąś wskazówkę jak udowodnić te zawierania?

[Premislav]

Niechaj \(\displaystyle{ \left\{ A_{n_{k}}\right\}}\) będzie podciągiem ciągu zbiorów \(\displaystyle{ \left\{ A_{n}\right\}}\). Wówczas jeśli \(\displaystyle{ x \in \bigcup_{k \ge m}^{} A_{n_{k}}}\), to tym bardziej \(\displaystyle{ x\in \bigcup_{n\in \NN, n\ge n_{m}}^{}A_{n}}\). Z przekrojem (a więc do zawierania z granicami dolnymi) spróbuj sam, zauważ, że gdy bierzesz coraz więcej zbiorów, to ich część wspólna na pewno nie puchnie, a często i chudnie.

-- 11 paź 2015, o 13:07 --

Nawiasy cuchną ekskrementami. No i durne T9.

-- 11 paź 2015, o 13:22 --

Łojć, nie wiem, czy jednak nie będzie lekkiego kłopotu z tymi indeksami (łatwego do załatania dzięki nierówności \(\displaystyle{ n_{m} \ge m}\), wynikającej z tego, że \(\displaystyle{ \left\{ A_{n_{k}}\right\}}\) to podciąg \(\displaystyle{ \left\{ A_{n}\right\}}\)). Można to wysłowić o wiele łatwiej, ale czepliwy prowadzący mógłby takiego rozwiązania nie uznać:
jeśli \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ A_{n_{k}}}\) dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ k}\), to tym bardziej \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ A_{n}}\) dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\). Stąd zawieranie z granicami górnymi.
Z drugiej strony gdy \(\displaystyle{ x}\) należy do wszystkich \(\displaystyle{ A_{n}}\) poza skończoną liczbą, to również \(\displaystyle{ x}\) należy do wszystkich\(\displaystyle{ A_{n_{k}}}\) poza skończoną ich liczbą.