Bryła opisana nierównościami

[peterson1]

Cześć,

Mam do rozwiązania zadanie - oblicz objętość bryły opisanej nierównościami:

\(\displaystyle{ x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0, x^2+y^2 \le 1, z \le xy}\)

Sprowadza się to zapewne do rozwiązania prostej podwójnej całki tylko nie mam pojęcia jak wygląda to coś w trójwymiarze. Zawsze mam z tym problem. Czy to będzie jakaś kula? Zapewne jedno ograniczenie będzie od 0 do 1, a drugie nie wiem.

[miodzio1988]

Na \(\displaystyle{ z}\) masz dwie nierownosci. Od razu przechodzisz na calke podwojną, a pozniej wspolrzedne biegunowe

[peterson1]

Spodziewam się, że funkcja do całkowania to \(\displaystyle{ x^2 + y^2}\). Czy całka będzie wyglądała tak?

\(\displaystyle{ \left| V\right| = \iint\limits_{D}f(x,y)dxdy= \int_{0}^{1}[ \int_{ 0 }^{xy} (x^{2}+ y^{2})dy]dx}\)

[AdamL]

A dlaczego taka funkcje całkujesz?? Pomyśl.

EDIT: pomysł
\(\displaystyle{ x=r \cdot \cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ y=r \cdot \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ z=z}\)
wówczas:
\(\displaystyle{ |J|=r}\)
\(\displaystyle{ r \in (0,1)}\)
\(\displaystyle{ \alpha \in (0, \frac{\Pi}{2})}\)
\(\displaystyle{ z \in (0,r^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos\alpha)}\)

Całka potrójna:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\Pi}{2} } \int_{0}^{1} \int_{0}^{r^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos\alpha} r dz dr d\alpha}\)

[peterson1]

A dlaczego taka funkcje całkujesz?? Pomyśl.

EDIT: pomysł
\(\displaystyle{ x=r \cdot \cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ y=r \cdot \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ z=z}\)
wówczas:
\(\displaystyle{ |J|=r}\)
\(\displaystyle{ r \in (0,1)}\)
\(\displaystyle{ \alpha \in (0, \frac{\Pi}{2})}\)
\(\displaystyle{ z \in (0,r^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos\alpha)}\)

Całka potrójna:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\Pi}{2} } \int_{0}^{1} \int_{0}^{r^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos\alpha} r dz dr d\alpha}\)

Czyli tutaj jednak będzie całka potrójna, a nie podwójna? Mógłbyś wytłumaczyć te przekształcenia dążące do zapisu całki?

[a4karo]

Ależ wystarczy podwójna. Popatrz najpierw na powierchnię \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\). Co to jest (w przestrzeni)?

teraz zastanów się co dochodzi, gdy założysz trzy pierwsze nierówności?

[peterson1]

Ależ wystarczy podwójna. Popatrz najpierw na powierchnię \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\). Co to jest (w przestrzeni)?

teraz zastanów się co dochodzi, gdy założysz trzy pierwsze nierówności?

No tutaj będzie coś się rozchodziło z tym okręgiem chyba, który będzie ograniczony przez te nierówności na dodatnich wartościach x, y i z.

[a4karo]

To nie jest okrąg. Masz przeciez trzy wymiary

[peterson1]

To nie jest okrąg. Masz przeciez trzy wymiary

No będziemy się zapewne obracać wokół osi "z" więc to będzie jakaś płaszczyzna obrotowa.

[a4karo]

konkretniej! Widzałeś kiedys gazociag?

[peterson1]

konkretniej! Widzałeś kiedys gazociag?

Ścięty walec?

[a4karo]

A niby czym sciety? po prostu rura nieskonczone w gore i w dol.

OK, teraz trzy pierwsze nierownosci...

[AdamL]

Rozpisałem całkę potrójną dlatego, żeby było widać wszystko krok po kroku, intuicja - objetosc - czyli calka potrojna

[Majeskas]

Na przykład moja intuicja nie mówi, że objętość wymaga całki potrójnej, tylko że może to oznaczać obliczanie objętości bryły ograniczonej wykresami funkcji dwóch zmiennych, czyli powierzchniami.

[a4karo]

Na przykład moja intuicja nie mówi, że objętość wymaga całki potrójnej, tylko że może to oznaczać obliczanie objętości bryły ograniczonej wykresami funkcji dwóch zmiennych, czyli powierzchniami.

Cóż, gdy mówi się o klasycznej całce oznaczonej funkcji jednej zmienniej, to liczy sie pole trapezów krzywoliniowych (obiekt dwuwymiarowy) całką pojedynczą.
Podobnie objetości brył ograniczonych "z góry" i "z dołu" powierzchniami wygodnie się liczy całką podwójną (w końcu można i potrójną, ale wtedy ta calka po kierunki "prostopadłym" sprowadza sie do róznicy wartości między "sufitem" i "podłogą". Niemniej jednak faktem jest, że na ogól liczenie objetości i całka potrójna to siostry .