Ciąg zbiorów
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 30 lis 2013, o 23:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 5 razy
Ciąg zbiorów
Rozważmy ciąg zbiorów \(\displaystyle{ (A_n)_{n \in \mathbb{N}}}\). Załóżmy, że istnieje \(\displaystyle{ \lim_{n} A_n = A}\). Pokazać, że istnieje również granica podciągu tego ciągu, przy czym \(\displaystyle{ \lim_{k} A_{n_k} =A}\).
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Ciąg zbiorów
Wskazówka: granica górna równa granicy dolnej.
No i jakaś tam zabawa z zawieraniami, granica dolna podciągu to nie mniej niż granica dolna ciągu i granica górna podciągu to nie więcej niż granica górna ciągu (to warto pokazać).-- 11 paź 2015, o 12:28 --Aha, oczywiście nie mniej i nie więcej w sensie słabego zawierania, bo to może myląco brzmieć.
No i jakaś tam zabawa z zawieraniami, granica dolna podciągu to nie mniej niż granica dolna ciągu i granica górna podciągu to nie więcej niż granica górna ciągu (to warto pokazać).-- 11 paź 2015, o 12:28 --Aha, oczywiście nie mniej i nie więcej w sensie słabego zawierania, bo to może myląco brzmieć.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Ciąg zbiorów
Niechaj \(\displaystyle{ \left\{ A_{n_{k}}\right\}}\) będzie podciągiem ciągu zbiorów \(\displaystyle{ \left\{ A_{n}\right\}}\). Wówczas jeśli \(\displaystyle{ x \in \bigcup_{k \ge m}^{} A_{n_{k}}}\), to tym bardziej \(\displaystyle{ x\in \bigcup_{n\in \NN, n\ge n_{m}}^{}A_{n}}\). Z przekrojem (a więc do zawierania z granicami dolnymi) spróbuj sam, zauważ, że gdy bierzesz coraz więcej zbiorów, to ich część wspólna na pewno nie puchnie, a często i chudnie.
-- 11 paź 2015, o 13:07 --
Nawiasy cuchną ekskrementami. No i durne T9.
-- 11 paź 2015, o 13:22 --
Łojć, nie wiem, czy jednak nie będzie lekkiego kłopotu z tymi indeksami (łatwego do załatania dzięki nierówności \(\displaystyle{ n_{m} \ge m}\), wynikającej z tego, że \(\displaystyle{ \left\{ A_{n_{k}}\right\}}\) to podciąg \(\displaystyle{ \left\{ A_{n}\right\}}\)). Można to wysłowić o wiele łatwiej, ale czepliwy prowadzący mógłby takiego rozwiązania nie uznać:
jeśli \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ A_{n_{k}}}\) dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ k}\), to tym bardziej \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ A_{n}}\) dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\). Stąd zawieranie z granicami górnymi.
Z drugiej strony gdy \(\displaystyle{ x}\) należy do wszystkich \(\displaystyle{ A_{n}}\) poza skończoną liczbą, to również \(\displaystyle{ x}\) należy do wszystkich\(\displaystyle{ A_{n_{k}}}\) poza skończoną ich liczbą.
-- 11 paź 2015, o 13:07 --
Nawiasy cuchną ekskrementami. No i durne T9.
-- 11 paź 2015, o 13:22 --
Łojć, nie wiem, czy jednak nie będzie lekkiego kłopotu z tymi indeksami (łatwego do załatania dzięki nierówności \(\displaystyle{ n_{m} \ge m}\), wynikającej z tego, że \(\displaystyle{ \left\{ A_{n_{k}}\right\}}\) to podciąg \(\displaystyle{ \left\{ A_{n}\right\}}\)). Można to wysłowić o wiele łatwiej, ale czepliwy prowadzący mógłby takiego rozwiązania nie uznać:
jeśli \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ A_{n_{k}}}\) dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ k}\), to tym bardziej \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ A_{n}}\) dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\). Stąd zawieranie z granicami górnymi.
Z drugiej strony gdy \(\displaystyle{ x}\) należy do wszystkich \(\displaystyle{ A_{n}}\) poza skończoną liczbą, to również \(\displaystyle{ x}\) należy do wszystkich\(\displaystyle{ A_{n_{k}}}\) poza skończoną ich liczbą.