Parabola, hiperbola oraz inna krzywa stożkowa

[Frynio]

Witam. Mam na I semestrze algebrę z geometrią analityczną i dostałem 3 takie zadania do zrobienia przed ćwiczeniami:

1. Na paraboli o równaniu: \(\displaystyle{ 4x+y^2+2y+9 = 0}\) znaleźć punkty jednakowo oddalone od ogniska, wierzchołka
i kierownicy. Szkic w układzie współrzędnych OXY. - tutaj wyliczyłem ognisko, wierzchołek i równanie kierownicy, ale nie wiem co dalej

2. Dla krzywej o podanym równaniu wyznaczyć wierzchołki oraz ogniska: \(\displaystyle{ 8x^2+9y^2+16x-18y-55=0}\)

3. Dane jest równanie hiperboli : \(\displaystyle{ \frac{(y-3)^2}{16}-\frac{(x-4)^2}{9} = 1}\). Wyznaczyć : a) współrzędne środka, b) współrzędne ognisk, c) współrzędne wierzchołków i d) równania asymptot. I tu właśnie nie umiem podpunktu d).

Z góry wielkie dzięki za pomoc, siedzę już nad całą tą geomerią już kilka dobrych godzin po wykładzie, ale z tymi nic nie mogę wymyślić...

[kerajs]

1.
Punkty jednakowo odległe od dwóch punktów leżą na symetralnej odcinka o końcach w tych punktach.
Przecięcie symetralnej odcinka wierzchołek-ognisko z parabolą da dwa szukane punkty.

2.
\(\displaystyle{ 8(x^2+2x)+9(y^2-2y)=55 \\ 8(x+1)^2+9(y-1)^2=72 \\ \frac{(x+1)^2}{(3)^2} +\frac{(y-1)^2}{(2 \sqrt{2}) ^2} =1}\)
A to jest

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Elipsa

.

3.
Równania asymptot hiperbol: \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \ \ , \ \ -\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\) to: \(\displaystyle{ y= \pm \frac{b}{a} x}\)
Ty masz
\(\displaystyle{ y-3= \pm \frac{4}{3} (x-4)}\)

[Frynio]

Jeju, wielkie dzięki! Już wszystko ogarnąłem. A mógłbym jeszcze zapytać co do tego pierwszego przykładu, czy te wyniki są dobre?: \(\displaystyle{ P_{1}(-2,5;1-\sqrt{2})}\) oraz \(\displaystyle{ P_{2}(-2,5;1+\sqrt{2})}\)

[kerajs]

Prawie dobre, brakuje tylko dwóch kreseczek.
\(\displaystyle{ P_{1}=(- \frac{5}{2} \ ; \ -1-\sqrt{2})}\) oraz \(\displaystyle{ P_{2}=(- \frac{5}{2} \ ; \ -1+\sqrt{2})}\)

[Frynio]

Yyy, tak, tak, jasne. Źle przepisałem z zeszytu. Dzięki bardzo!