Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
\(\displaystyle{ a=b}\)to daje \(\displaystyle{ a=b=0}\). Odzucamy. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy \(\displaystyle{ b<a}\)
Możemy zapisać równanie w postaci \(\displaystyle{ a+b=2^{b-1}(2^{a-b}-1)}\)
Oczywiście stwierdzamy, że \(\displaystyle{ a \ge b}\) . Wykluczmy ponadto przypadek:
\(\displaystyle{ a = b+1}\)
\(\displaystyle{ 2b+1 = 2^{b-1}}\), Dana równość jest oczywiście sprzeczna (lewa strona nieparzysta, prawa taka jest tylko dla \(\displaystyle{ b=1}\) , jednak wtedy lewa strona jest parzysta.)
Przejdźmy do rozwiązania:
Przypominam:
\(\displaystyle{ 2^{a-1} - a = 2^{b-1} + b}\)
\(\displaystyle{ 2^{a-1} - a > 2^{a-2}}\)
\(\displaystyle{ 2^{b-1} + b < 2^{b}}\)
Dwie powyższe nierówności prawdziwe są już dla \(\displaystyle{ a,b > 4}\) . Ich prawdziwość udowadniamy chociażby z pochodnych.
Od razu wnioskujemy, że dla \(\displaystyle{ b > 4}\) musi być spełniona nierówność:
\(\displaystyle{ 2^{b} > 2^{a-2}}\)
\(\displaystyle{ a < b+2}\) , czyli dla \(\displaystyle{ b > 4}\) , musimy rozpatrzeć tylko przypadki: \(\displaystyle{ a=b}\) oraz \(\displaystyle{ a = b+1}\). Jeden jest trywialny, a drugi sprzeczny, co już zdążyliśmy pokazać.
Tak więc rozwiązania muszą znajdować się w tych przedziałach:
\(\displaystyle{ a,b \le 4}\). Potencjalnych rozwiązań jest więc skończona ilość.
Jeszcze wypada sprawdzić co sie dzieje jak \(\displaystyle{ b}\) jest małe, a \(\displaystyle{ a}\) duże :p
EDIT: Można też prościej.
rozwiązanie:
Sprawdzamy co się dzieje jak \(\displaystyle{ a=b}\). Teraz zakładamy, że \(\displaystyle{ a > b}\).
