Dowód własności martyngału

[elbargetni]

Niech \(\displaystyle{ (X_n)}\) będzie martyngałem.
Pokaż, że
\(\displaystyle{ EX_1 = EX_2 = ...}\)

Nie wiem za bardzo od czego wyjść, żeby ten dowód był w pełni poprawny.

[rafalpw]

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X_2=\mathbb{E}\left( \mathbb{E}X_2 | X_1\right)=\hdots}\)

[elbargetni]

To może tak:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X_2=\mathbb{E}\left( \mathbb{E}X_2 | X_1\right)=\mathbb{E}X_1}\)

Czyli dobrze rozumiem, że najpierw korzystamy z warunkowej wartości oczekiwanej, a później z definicji martyngału?

[rafalpw]

Zgadza się.

[Alef]

Ponieważ \(\displaystyle{ (X_{n})}\) martyngał to dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) mamy

\(\displaystyle{ E[X_{n+1}|F_{n}]=X_{n}}\)

Obkładamy obustronnie wartością oczekiwaną. Dostajemy

\(\displaystyle{ E\left[ E[X_{n+1}|F_{n}]\right]=E[X_{n}]}\)

Lewa strona z własności warunkowej wartości oczekiwanej to po prostu \(\displaystyle{ E[X_{n+1}]}\).

Zatem ostatecznie dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) mamy

\(\displaystyle{ E[X_{n+1}]=E[X_{n}]}\)

Wasze rozumowanie zakłada, że filtracja generowana jest przez proces \(\displaystyle{ (X_{n})}\), a to jest tylko szczególny przypadek.

[leszczu450]

To może tak:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X_2=\mathbb{E}\left( \mathbb{E}X_2 | X_1\right)=\mathbb{E}X_1}\)

Czyli dobrze rozumiem, że najpierw korzystamy z warunkowej wartości oczekiwanej, a później z definicji martyngału?

Czy to drugie przejście tutaj na pewno jest prawdziwe?

[Alef]

Dlaczego nie?

[leszczu450]

Alef, hmm. \(\displaystyle{ \mathbb{E}X_2}\) to liczba. A WWO z liczby to ta liczba. Czy coś kłamię?

Tu chyba brakuje nawiasu. Powinno być:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X_2=\mathbb{E}\left( \mathbb{E}(X_2 | X_1)\right)=\mathbb{E}X_1}\)

[rafalpw]

Tak, brakowało nawiasu.

[Alef]

No tak, zapis do poprawy ale idea dobra.

[leszczu450]

Alef, oj ten nawias tutaj to akurat miał duże znaczenie : )

[Alef]

Zgadzam się.

[leszczu450]

Alef, cieszę się bardzo : ) Mam jeszcze podobny problem, tyle, że dla ciągłego przypadku. Twierdzenie brzmi: \(\displaystyle{ (M_t)_{t\in [0,T]}}\) jest martyngałem \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ \mathbb{E}M_t=\mathbb{E}M_s}\). Z lewa na prawo oczywiste. Jak to w drugą stronę zrobić?

[Alef]

Weźmy proces \(\displaystyle{ W_{t}^{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ (W_{t})_{t\in[0,T]}}\) jest procesem Wienera.

Ponieważ \(\displaystyle{ W_{t}}\) ma rozkład normalny, to dla każdego \(\displaystyle{ t\in[0,T]}\) mamy \(\displaystyle{ E[W_{t}^{3}]=0}\), ale proces \(\displaystyle{ W_{t}^{3}}\) nie jest martyngałem.

[leszczu450]

Alef, czyli w drugą stronę nie zachodzi?