Wykaż, że - suma pierwiastków 3 stopnia

[fivi91]

Wykaż, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} } + \sqrt[3]{20-14 \sqrt{2} } =4}\)

Wiem, że trzeba jakoś użyć wzorów skróconego mnożenia, ale nie wiem jak.
Mógłby mi ktoś zamieścić rozwiązanie?

[MatizMac]

musisz sobie tak dopasować, żeby \(\displaystyle{ 20+14\sqrt{2}=(a+b)^{3}}\) wychodzi \(\displaystyle{ (2+\sqrt{2})^3}\) analogicznie z drugim pierwiastkiem tylko ze znakiem minus.

[fivi91]

czyli mam "zgadywać"?
dadzą mi za coś takiego punkty na maturze?

[MatizMac]

tak jakby, poćwicz trochę albo przemyśl to zauważysz, że zazwyczaj z dwóch czynników (tego rozpisanego wzoru) rodzą się te liczby z pierwiastkami a z pozostałych dwóch bez pierwiastków. No dadzą, bo to może być jakaś część zadania, a przecież przy wyliczeniach nie musisz wszystkiego zapisywać dokładnie.
Można ewentualnie sobie coś takiego w ramach odpowiedzi zapisać:
\(\displaystyle{ a^{3}+3ab^{2}=20 \\ b^{3}+3a^{2}b=14\sqrt{2}}\)

[xanowron]

czyli mam "zgadywać"?
dadzą mi za coś takiego punkty na maturze?

Pewnie, że dadzą, sposób jest w pełni poprawny.
Ale jak na maturze nie będziesz w stanie wpaść na takie zwinięcie to możesz zapisać \(\displaystyle{ \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} } + \sqrt[3]{20-14 \sqrt{2} } =x}\) i na pałę podnosić do 3 potęgi i wyjdzie pewnie jakiś wielomian i jedynym rozwiązaniem będzie 4.

[knrt]

Jeśli \(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}}\), to

\(\displaystyle{ x^3=40+3\sqrt[3]{8\cdot(20+14\sqrt{2})}+3\sqrt[3]{8\cdot(20-14\sqrt{2})}}\),

czyli

\(\displaystyle{ x^3=40+6x}\)

Jedynym rozwiązaniem tego równania jest 4.

[Medea 2]

Jedynym rzeczywistym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ 4}\), ale są jeszcze dwa zespolone, \(\displaystyle{ -2 \pm \sqrt{6} \textrm{i}}\) (co można wziąć pod uwagę ze względu na wiek autorki).

[Zahion]

Temat powstał prawie 6 lat temu.