Stabilność rozwiązania

[Glo]

Cześć!

Mam do zbadania stabilność rozwiązania numerycznego równania różniczkowego. Równanie do rozwiązania to:

\(\displaystyle{ y' = -3y + 2e^{-x}}\)

używając metody Leapfrog'a. Schemat ten pozwala znaleźć kolejny wyraz an podstawie dwóch poprzednich:

\(\displaystyle{ y_{n+1} = Y_{n-1} + 2hf(x_n, y_n)}\)
gdzie f to prawa strona pierwszego równania.

Używając tej metody, dostajemy równanie rekurencyjne:

\(\displaystyle{ y_{n+1} = Y_{n-1} + 2h(-3y_n + 2e^{-nh})}\). Rozwiązuję najpierw:

\(\displaystyle{ y_{n+2} + 6hy_{n+1} - y = 0}\)

zgadując rozwiązanie typu \(\displaystyle{ \alpha r^{n}}\)

otrzymuję równanie kwadratowe z dwoma pierwiastami:

\(\displaystyle{ r_1 = -3h + \sqrt{9h^2+1}}\), \(\displaystyle{ r_2 = 3h + \sqrt{9h^2+1}}\).

Dalej zgaduję, że pełne równanie ma rozwiązanie typu \(\displaystyle{ \beta e^{-nh}}\). Otrzymuję w ten sposób

\(\displaystyle{ \beta = \frac{4h}{e^{-2h} + 6e^{-h} - 1}}\).

Używając warunków początkowych \(\displaystyle{ y_0 = 0}\), \(\displaystyle{ y_1 = 2h}\) znajduję stałe A i B w rozwiązaniu:

\(\displaystyle{ y_n = Ar_1^n + Br_2^n + \beta e^{-nh}}\). Stałe te wyglądają dość koszmarne i zależą od h w dosyć skomplikowany sposób:

\(\displaystyle{ A = \frac{- \beta \sqrt{9h^2+1} -3 \beta h-1}{6h}}\)

\(\displaystyle{ B = \frac{- \beta \sqrt{9h^2+1} +3 \beta h-1}{6h}}\)

Liczyłem wszystko kilka razy i wygląda na to, że jest w porządku. Jednakże w dalszej części zadania muszę wykazać, że rozwiązanie to jest niestabilne oraz mam znaleźć jak ta niestabilność zależy od h. Ponadto mam pokazać, że jeżeli \(\displaystyle{ h \rightarrow 0, n \rightarrow \infty}\) tak, że \(\displaystyle{ x = nh}\) jest stałe, to rozwiązanie zbiega się do analitycznego rozwiązania równania:

\(\displaystyle{ y = e^{-x} - e^{-3x}}\). Nie mam pojęcia, skąd wziąć to -3x.

[SlotaWoj]

To nie jest metoda Leapfrog'a, tylko metoda leapfrog (żabiego skoku), w Polsce częściej nazywana algorytmem skokowym. Metoda ta jest stosowana głównie do równań drugiego rzędu, a u Ciebie równanie jest rzędu pierwszego.
Charakterystyczna cechą tej metody jest to, że wartości rozwiązania wyznacza się na końcach kroków całkowania, ale jego pierwszą pochodną w połowie (w środku) kroków całkowania.
Aby metoda ta była stabilna, rozwiązanie musi być oscylacyjne, a wymuszenie nie może zależeć od pierwszej pochodnej.

[Glo]

Ha, ciekawe - myślałem, że to po prostu ciekawe nazwisko. Musiałem zasugerować się wielką literą.

Jak to co mówisz na temat rozwiązań oscylacyjnych ma się do mojego rozwiązania równania rekurencyjnego? Z tego, co udało mi się znaleźć, wychodzi, że tego typu równania zawsze mają rozwiązania typu \(\displaystyle{ r^n}\) i są stabilne jeżeli oba \(\displaystyle{ r<1}\), co ma sens, gdyż w takim wypadku \(\displaystyle{ r^n \rightarrow 0}\) gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\).

Jesteś może w stanie podsunąć jakąś wskazówkę co do tego, jak pokazać, że w granicach rozwiązanie dąży do rozwiązania analitycznego?