Wyznaczyć punkt leżący na wykresie funkcji najbliżej punktu

[Pawlllosss]

Witam, mam zadanie, którego treść brzmi następująco.

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f}\) określona wzorem \(\displaystyle{ f(x)= x^{3}}\) dla dowolnej liczby rzeczywistej x. Wyznacz punkt \(\displaystyle{ P=(p,p^{3})}\) leżący na wykresie funkcji \(\displaystyle{ f}\) najbliżej punktu \(\displaystyle{ A=(4,0)}\).

Muszę tutaj znaleźć argument, dla którego wartość funkcji określającej odległość jest najmniejsza.

Obliczyłem, więc tą funkcję. Nazwałem ją \(\displaystyle{ d(p)= \sqrt{ p^{6}+ p^{2}-8p+16 }}\)
Z czego wychodzi mi funkcja pierwiastkowa \(\displaystyle{ f(p)= p^{6}+ p^{2}-8p+16}\).
Liczę pochodną \(\displaystyle{ f'(p)= 6p^{5}+2p-8}\).

Szukam punktów, dla których \(\displaystyle{ f'(p)=0}\).
Z użyciem schematu Hornera rozkładam to wyrażenie do postaci \(\displaystyle{ f'(p)=(p-1)(6p^{4}+6 p^{3}+6p^{2}+ 6p+8)}\).

Nie mam pojęcia co zrobić dalej, nie potrafię rozłożyć tego wyrażenia do jeszcze prostszej postaci, proszę o pomoc .

[Glo]

Wszystko wygląda ok. Drugi wielomian nie ma żadnych pierwiastków rzeczywistych (możesz sprawdzić na kalkulatorze), ale nie widzę jak na szybko wykazać to analitycznie.

[Michalinho]

\(\displaystyle{ 6p^{4}+6 p^{3}+6p^{2}+ 6p+8=6p^2(p^2+p+\frac{1}{4})+\frac{9}{2}(p^2+\frac{4}{3}p+\frac{4}{9})+6=6p^2(p+\frac{1}{2})^2+\frac{9}{2}(p+\frac{2}{3})^2+6>0}\)