Suma szeregu

[Benny01]

Napisać sumy częściowe podanych niżej szeregów i znaleźć ich granice.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[2n+1]{x}- \sqrt[2n-1]{x}}\)
Po wypisaniu paru sum zauważam, że większość się skraca i zostaje \(\displaystyle{ \sqrt[2n-1]{x} -x}\)
Tutaj mam dylemat co do tego ile wynosi ta suma. W odpowiedziach piszą tak:
\(\displaystyle{ S=1}\) przy \(\displaystyle{ x>0; S=-1}\) przy \(\displaystyle{ x<0; S=0}\) przy \(\displaystyle{ x=0}\)
Ktoś podpowie o co chodzi z tą odpowiedzią?

[SlotaWoj]

Zauważyłem błąd w Twoim rozwiązaniu, ale tak się składa, że nie ma on wływy na wynik końcowy.

Suma częściowa wynosi:

• \(\displaystyle{ \newrgbcolor{dr}{0.5 0 0}S_n=\sqrt[2n{\dr{+}}1]{x}-x}\)

A suma szeregu:

• \(\displaystyle{ S=\lim_{n\to\infty} \sqrt[2n+1]{x}-x=
  \begin{cases}
  \ -1-x\quad\mbox{dla}\quad x<0 \\
  \ 0\quad\quad\quad\ \ \mbox{dla}\quad x=0 \\
  \ 1-x\quad\ \ \ \mbox{dla}\quad x>0
  \end{cases}}\)

W odpowiedziach jest błąd.

Podstawą rozwiązania jest „znana” granica:

• \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1\quad\mbox{dla}\quad a>0}\)

[Benny01]

No i teraz mi się wszystko zgadza. Dzięki