dwie proste calki

[adi1337]

witam,
mam problem z tymi dwiema caleczkami a nie moge znalezc rozwiazania w internecie.

\(\displaystyle{ \int\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}dy}\)


\(\displaystyle{ \int\frac{1}{e^{y}-1}dy}\)

Dżiekuje serdecznie za pomoc.

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ t=1-y^2}\)

A w drugim podstawienie za mianownik

[adi1337]

Pierwsze sie zgadza i dzieki. Ale drugie nie wychodzi.:/

[miodzio1988]

Gdzie sie gubisz?

[adi1337]

jak podstawiam za \(\displaystyle{ t=e^{y}-1}\) to pozniej zostaje mi w całce ta wartosc \(\displaystyle{ e^{y}}\) a nie powinno byc "y", skoro juz mamy zmienna t, prawda?

[Alef]

\(\displaystyle{ y=\ln{(t)}}\)

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ t=e^{y}-1}\)

\(\displaystyle{ t+1=e^{y}}\)

[adi1337]

przepraszam, ze nie w LaTexie ale nie wiedzialem jak wpisac to "podstawienie"
dochodze do czegos takiego

AU

35712463779694857266.jpg (5.52 KiB) Przejrzano 192 razy

to jest dobrze? nie bardzo wiem co dalej, \(\displaystyle{ e^{y}}\) wystawic przed calke?
pozdrawiam

[Alef]

Mówię:

\(\displaystyle{ y=\ln{(t)}}\)

\(\displaystyle{ dy=\frac{1}{t}dt}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \int\frac{1}{e^{\ln{(t)}}-1}\cdot \frac{1}{t}dt=\int\frac{1}{t-1}\cdot \frac{1}{t}dt=\int\frac{1}{(t-1)t}dt=...}\)

Aby rozwiązać tę całkę rozbijasz na ułamki proste funkcję podcałkową:

\(\displaystyle{ \frac{A}{t-1}+\frac{B}{t}=\frac{1}{(t-1)t}}\)

itd.

BTW: To co miodzio1988 zaproponował jest ok:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ e^{y}-1=t}\)

\(\displaystyle{ e^{y}=t+1}\)

\(\displaystyle{ e^{y}dy=dt}\)

\(\displaystyle{ dy=\frac{dt}{e^{y}}}\)

\(\displaystyle{ dy=\frac{dt}{t+1}}\)

\(\displaystyle{ \int\frac{1}{e^{y}-1}dy=\int\frac{1}{t}\cdot\frac{1}{t+1}dt=\int\frac{1}{t(t+1)}dt=...}\)

[adi1337]

dzieki wielkie, wszystko jest ok.