Równanie liniowe drugiego stopnia

[Maciej94]

Witam, mam rozwiązać następujące zagadnienie:

\(\displaystyle{ y''-2y'+5y= \frac{4e^{x}}{\sin 2x}}\)

\(\displaystyle{ y \left( \frac{\pi}{4} \right) =0 \\
y' \left( \frac{\pi}{4} \right) =0}\)

Mój tok rozumowania:
\(\displaystyle{ y''-2y'+5y= 0 \\
r_{1}=1+2i \wedge r_{2}=1-2i \\
y=C_{1}e^{x} \left( \cos 2x+i\sin 2x \right) +C_{2}e^{x} \left( \cos \left( -2x \right) +i\sin \left( -2x \right) \right)}\)
Uzmiennienie stałej
\(\displaystyle{ \begin{cases} C_{1}'e^{x} \left( \cos 2x+i\sin 2x \right) +C_{2}'e^{x} \left( \cos \left( -2x \right) +i\sin \left( -2x \right) \right) = 0 \\ C_{1}' \left( e^{x} \left( \cos 2x+i\sin 2x \right) \right) '+C_{2}' \left( e^{x} \left( \cos \left( -2x \right) +i\sin \left( -2x \right) \right) \right) ' = \frac{4e^{x}}{\sin 2x} \end{cases}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} C_{1}'e^{x \left( 1+2i \right) }+C_{2}'e^{x \left( 1-2i \right) } = 0 \\ C_{1}' \left( 1+2i \right) e^{x \left( 1+2i \right) }+C_{2}' \left( 1-2i \right) e^{x \left( 1-2i \right) } = \frac{4e^{x}}{\sin 2x} \end{cases}}\)
Nie mogę sobie poradzić z tym układem równań. Da się to jakoś prościej rozwiązać?
Edit.
Nie zauważyłem prostej rzeczy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \left( 1+2i \right) C_{1}'e^{x \left( 1+2i \right) }+ \left( 1+2i \right) C_{2}'e^{x \left( 1-2i \right) } = 0 \\ C_{1}' \left( 1+2i \right) e^{x \left( 1+2i \right) }+C_{2}' \left( 1-2i \right) e^{x \left( 1-2i \right) } = \frac{4e^{x}}{\sin 2x} \end{cases} \\
C_{2}'4ie^{ \left( 1-2i \right) x}=- \frac{4e^{x}}{\sin 2x} \\
C_{2}'ie^{ \left( -2i \right) x}=- \frac{1}{\sin 2x} \\
C_{2}'\frac{-1}{i\cos 2x-\sin 2x}=-\frac{1}{\sin 2x} \\
C_{2}'=i\frac{\cos 2x}{\sin 2x}-1}\)

Czy mógłby ktoś sprawdzić (będę edytował swoje rozwiązanie kiedy będzie jakiś większy postęp w obliczeniach)
edit2.
\(\displaystyle{ C_{2}= \int \left( i\frac{\cos 2x}{\sin 2x}-1 \right)}\)
\(\displaystyle{ C_{2}= \frac{i}{2}\ln |\sin 2x|-x+D}\)

-- 10 wrz 2015, o 21:33 --

Czyli z tego wynika, że

\(\displaystyle{ C_{1}'e^{(1+2i)x}=(1-i\ctg(2x))e^{(1-2i)x}}\)
\(\displaystyle{ C_{1}=\int(1-i\ctg(2x))e^{(-4i)x}}\)

Gdzie jest błąd?

[Mariusz M]

Przed uzmiennieniem stałych mogłeś uwolnić się od zespolonych , wtedy wygodniej by ci się liczyło

[Maciej94]

Przed uzmiennieniem stałych mogłeś uwolnić się od zespolonych , wtedy wygodniej by ci się liczyło

Nie za bardzo mam pomysł jak pozbyć się tutaj liczb urojonych-- 11 wrz 2015, o 08:36 --Ewentualnie mógłby mi ktoś pomóc policzyć tę całkę? Nie wiem jak się za nią wziąć.