Urna i n kul

[asign123]

Witam Proszę o pomoc z takim zadaniem :

Z urny zawierającej \(\displaystyle{ n}\) kul ponumerowanych od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\) gdzie \(\displaystyle{ n \ge 11}\) losujemy bez zwracania \(\displaystyle{ 11}\) kul. Ich numery zapisane w kolejności losowania tworzą ciąg. Wyznacz prawdopodobieństwo otrzymania ciągu monotonicznego którego jednym z wyrazów jest \(\displaystyle{ 11}\).

Rozumiem o co chodzi w samym zadaniu, dwa warunki - ciąg malejący i rosnący ( wydaje mi się że można obliczyć np. dla samego rosnącego i pomnożyć razy dwa) ale kompletnie nie mam pojęcia jak to rozpisać i dlaczego.

Z góry dzięki i pozdrawiam !

[MatXXX]

Najpierw policzmy ciągi \(\displaystyle{ 11}\)-elementowe, których elementy należą do \(\displaystyle{ [n]}\) (czyli zbioru od 1 do n).
\(\displaystyle{ {n \choose 11} \cdot 11!}\), bo wybieramy elementy do ciągu i permutujemy je.

Teraz trzeba zauważyć, że ilość ciągów ściśle monotonicznych (losujemy bez zwracania, elementy się nie powtórzą) o \(\displaystyle{ k}\) elementach ze zbioru o \(\displaystyle{ m}\) elementach jest dokładnie tyle, co \(\displaystyle{ k}\) elementowych podzbiorów zbioru mocy \(\displaystyle{ m}\), bo elementy podzbioru możemy jednoznacznie ustawić w ciąg monotoniczny.

W zadaniu szukamy monotonicznych ciągów zawierających \(\displaystyle{ 11}\), czyli musimy znaleźć ilość podzbiorów \(\displaystyle{ [n]}\) zawierających dokładnie 11 elementów, z czego jeden to 11.
Odpowiedzią jest \(\displaystyle{ {n \choose 10}}\), bo jeden element podzbioru znamy, resztę dobieramy.

Zostało policzyć prawdopodobieństwo.

[kropka+]

W zadaniu szukamy monotonicznych ciągów zawierających \(\displaystyle{ 11}\), czyli musimy znaleźć ilość podzbiorów \(\displaystyle{ [n]}\) zawierających dokładnie 11 elementów, z czego jeden to 11.
Odpowiedzią jest \(\displaystyle{ {n \choose 10}}\), bo jeden element podzbioru znamy, resztę dobieramy.

Jest \(\displaystyle{ {n-1 \choose 10} \cdot 2}\) takich ciągów, bo dobieramy \(\displaystyle{ 10}\) spośród \(\displaystyle{ n-1}\) elementów i sortujemy rosnąco i malejąco.

[asign123]

W zadaniu szukamy monotonicznych ciągów zawierających \(\displaystyle{ 11}\), czyli musimy znaleźć ilość podzbiorów \(\displaystyle{ [n]}\) zawierających dokładnie 11 elementów, z czego jeden to 11.
Odpowiedzią jest \(\displaystyle{ {n \choose 10}}\), bo jeden element podzbioru znamy, resztę dobieramy.

Jest \(\displaystyle{ {n-1 \choose 10} \cdot 2}\) takich ciągów, bo dobieramy \(\displaystyle{ 10}\) spośród \(\displaystyle{ n-1}\) elementów i sortujemy rosnąco i malejąco.

Dlaczego tak ?

[MatXXX]

Ze wszystkich \(\displaystyle{ n}\) elementów w zbiorze jeden jest już wybrany (\(\displaystyle{ 11}\) musi należeć do tego zbioru, czyli wrzucany ją tam na samym początku bez żadnego losowania). W urnie zostało \(\displaystyle{ n-1}\) elementów z których wybieramy dziesięć do wypełnienia zbioru (a jednocześnie ciągu).
\(\displaystyle{ {n-1 \choose 10}}\)
Zbiór można jednoznacznie posortować na dwa sposoby, rosnąco i malejąco. Z jednego wybranego zbioru można zrobić dwa ciągi, więc ostateczna odpowiedź to:
\(\displaystyle{ {n-1 \choose 10} \cdot 2}\)

[asign123]

Ale z tym sortowaniem - przecież zanim posortujesz to masz inne kombinacje, nie tworzące monoticznego ciągu, ale wchodzą w skład tych kombinacji

[MatXXX]

To prawda, że z jednego takiego zbioru można utworzyć \(\displaystyle{ 11!}\) ciągów, z czego \(\displaystyle{ 11!-2}\) niemonotonicznych. Ale tu nas to nie obchodzi. Przy zliczaniu korzystamy z faktu, że jeden taki zbiór odpowiada dokładnie dwóm ciągom monotonicznym. Więc jeżeli potrafimy zliczyć ilość zbiorów, to pośrednio policzymy ilość ciągów monotonicznych.